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泊松积分值的计算方法及其应用 王雯雯 摘要 在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值,本文介绍泊松积分的七种证明方法，最后给出泊松积分在数学分析、概率统计及其物理等方面的应用. 关键词：泊松积分；方法；应用 The Computing Methods And Applications 0f Poisson Integral Wang Wenwen Abstract In generally textbooks of Advanced Mathematics，the methods of solving Poisson integral was less mentioned. It encountered Poisson integral in practical problem usually，such as heat conduction problem or probability problem. It couldnt solve integral value with New-Leibniz formulabecause the primitive function of integrand wasnt elementary function. This paper introduces seven methods of solving Poisson integral,and applications in mathematical analysis,physics and probability statistics. Key words: Poisson integral;methods;applications 引言 泊松积分作为一种重要的积分形式在人们对实际问题的计算中起着重要的作用,但是在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，但由于泊松积分的被积函数不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值.本文将从三方面对泊松积分作详细的研究.首先，判断泊松积分的收敛性，然后，求出泊松积分的值，求解该积分的方法有多种，本文将介绍求解泊松积分的七种不同解法，最后，列举泊松积分在概率论与数理统计、复变函数论及物理等方面的简单应用. 二．判断泊松积分的收敛性 要求反常积分的值，首先要判断该反常积分的收敛性，这是十分必要的,下面判断其收敛性. 令 ,则 + 令= ， 对于: 因为在上连续，所以在上可积，即在上收敛. 对于： 因为在上恒有，且 则由Cauchy判别法知，在上收敛. 综上， 在上收敛. 即为一确定的值. 三.求解泊松积分值的几种方法 我们已经知道反常积分的值是存在的了，那么如何求出它的值呢？下面来介绍求其值的七种方法. （一）．利用欧拉积分求解 因为欧拉积分有良好的性质，所以可用其来求一些相关的积分，往往会起到事半功倍的效果. 记 , 则 . 由余元公式知，, 则 = 2 所以, = （二）.通过构造新的反常积分间接求得 令, =, 则 , 对求导，得 则对, 一致收敛. 所以， = - 且 = 则 - = 令 ， 则有 = 则 构造法是数学分析中常用的一种方法，当直接求积分不好求时，便可通过构造一种特殊的积分，间接地得出所求积分.例如求反常积分时便可通过构造反常积分 间接求得. （三）.利用多重积分计算间接求得 解：利用极坐标变换, 就变换为 . 因此利用变量替换法得 = = = = 又由于 = ，所以利用化累次积分法得 = = = = 则 = 又因为为偶函数，则 = = 该种方法主要利用的是累次积分法和变量替换法，但值得注意的是一个反常二重积分化为累次积分后，其累次积分