涉及多個自变函数的定积分的驻值问题.docVIP

涉及多个自变函数的定积分的驻值问题 i/ 泛函形式： （l=1,2,…,n） ii/ 求V的驻值： iii/ 利用分部积分法，可得： =0 = n个Euler方程(Euler方程组) r =1,2,………,n (微分方程组) 以及多种可能的边界条件。 * 上式在理论力学中称 Lagrange方程，是具有 n 个自由度的保守系统的运动方程。 * Hamilton原理正是说明Lagrange方程可来自于泛函驻值的求解。 * 若添加多个自变函数及他们的高阶导数，可获得与上一节类似结果。 　 1.2.6 重积分的驻值问题 问题的提法：平面上有一区域Ω,Ω的边界为C,要求在区域中找一个函数w(x,y),使下列重积分取驻值： J=, 在C1 上，（已知） 目的：把上述泛函转化成偏微分方程的边值问题。 解：求 J 的一阶变分得： 寻找 ?wx, δwy 与?w的关系，由Gauss定理： α,β是外界的外法线与x,y轴的夹角，C是边界曲线的弧长。 若在上式中取 u=u1(x,y)u2(x,y) v=v1(x,y)v2(x,y) 则得 整理后得，（面积分的分部积分公式） 取： ， , 代入后，便得 因为在c上,c1中 w已知，即?w = 0,所以上式线积分仅对c2部份，代入到?J 式，经整理得： 为使J 取驻值，必须有：（道理同前） 还可再推广至更多重积分和自变函数多个及高阶偏导情况。 1.2.7 三自变量函数的条件驻值问题 remark: i/. 前几节讨论的几类泛函驻值，习惯称为无条件驻值。并不是说完全无条件，至少应有： 1) 自变函数的连续性质应使泛函有意义（积分存在）； 2）自变函数满足一部分边界条件。但这些条件较易满足，以至不把其作为条件。 ii/. 本节的泛函，除上述条件外，还有其他条件应须满足。 iii/. 求解泛函的条件驻值，常用Lagrange乘子法，与多自变量函数条件驻值的Lagrange乘子法十分相似。本节先从三自变量函数的条件驻值，讲清拉氏乘子法的数学原理。 问题：寻找 F=F(x,y,z) 的驻值，并满足条件: Φ(x,y,z)=0 既在空间曲面Φ(x, y, z) = 0上寻找函数 F 的驻值点。 思路： 转换上述问题为无条件驻值时有多种办法，视条件Φ的分离难易程度。 若能： 1）将 Φ(x, y, z) = 0 z = f(x, y) F[x, y, f(x,y)] 2) 将Φ(x,y,z)=0 x = x(u, v) , y = y(u,v), z = z(u, v) F [x( u , v), y(u , v), z(u , v)] 3)采用拉氏乘子法 取曲面Φ上的一点 p = p(x , y , z) F(xp , yp , zp), 取曲面Φ上的另一点Q(x+dx , y+dy , z+dz) 是 p 的邻点; 因为Q在Φ面上，故有： 　　 　　 在Q点函数值的微分： Note: dr 曲面?的切面上的一个无穷小矢量；与切面上的任意矢量垂直。 在p点上，若与平行，则 dF=0, 即在p的无穷小邻域内找不到能使dF大于或小于零的点，故p为使F取驻值的点。（这句话反过来理解较顺） 若不与平行，可分解成两个矢量，一个与平行，取作 -?（λ为一适当常数）,另一个与垂直，取作G，即有： = -λ+G G = 0 在p上，沿G 方向取一无穷小矢量 dr = εG (ε为一无穷小数) 及 的思想代入dF 式，得: dF = dr = εG (-λ+G) = εG G 由此可知，若G不等于零，则可以取正或负的ε使dF大于或小于零，所以 F 取驻值的条件应使G = 0，即 = -λ + λ = 0 写成分量形式， 即： , , 结合条件 ,便可决定x,y,z,λ四个量。上式条件是F 取驻值的充要条件 一般作法： a). 构造一个新的函数 把x,y,z,λ看作可以是无条件变化的自变量，求F*的驻值 b). F*取驻值的条件: ，即 ， ， ， c).由于F* 线性地依赖于λ，所以不论原函数F是否有极值，新函数F*不可能有极值，它关于?只能有非极值的驻值。 以上的方法称为Lagrange方法。 Homework: 按以上思