《函数思想讲稿.docVIP

中学数学思想之函数思想 什么是函数： 函数的概念： 函数的概念出现在八年级第一学期的第十八章中：“在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。”函数概念的出现，开始了变量教学的新起点，许许多多的数学问题都可以利用函数概念来解析，利用函数思想方法来处理。对于一些数学难题，一旦用上了函数思想方法，就能迎刃而解，达到非常好的效果。德国数学家菲利克斯·克莱因认为函数概念应该成为数学教学的灵魂！因此，我们必须十分重视函数概念的教学，重视函数思想方法的应用。 函数的三种表达方式： （1）列表法：用表格来表示变量之间的关系的方法。其优点在于可以根据表格中列出的自变量的值，直接得到与其对应的因变量的值，而不需要计算，一目了然，因此，使用起来比较方便。缺点是表格中所列出的对应值一般都是有限的，不容易看出两个变量之间的对应规律，也不能直观、形象、准确地反映变量之间的变化趋势。 图像法：用图像来表示变量之间的关系的方法。其优点在于相比列表法与解析法，能更容易体现变量之间的关系，同时结合图像也可以直观地研究他们的性质，如图像的位置分布、最值、单调性等。缺点在于由观察图像所得到的数据、数量关系往往都是近似的，不够准确。 解析法：用代数式来表示变量之间的关系的方法。其优点在于可以简单、准确地反映出整个变化过程中两个变量之间的关系。缺点例如根据表达式求两个变量之间的对应值时，需要进行计算，有时计算起来比较复杂；表达式不能直观、形象地反映出变量之间的变化趋势；有些复杂的实际问题，不可能很方便地用解析式表示出来等等。 什么是函数思想： 函数思想是指对问题建立函数模型，并利用函数的概念、性质及图像，以运动和变化的观点，去分析问题、转化问题、解决问题的思维策略，是初中阶段的一种重要的数学思想方法。 函数思想具有以下特性： 函数概念的抽象性引起函数思想方法的复杂性 函数概念体现了一个变量与另一个变量的一种对应，也体现了一个集合到另一个集合的一种映射。对于初中生的认知水平而言，什么是对应，什么是映射，什么是关系都是非常陌生的，这些抽象的词汇造成了学生对函数概念理解上的困难。因此，函数思想作为函数概念的外延，就显得较为复杂。 函数与其图像的对应关系，引发了数形结合的思想方法，函数的等价变换，引发了化归的思想方法（如换元法、配方法、综合法、分析法等）。正确认识函数思想的复杂性，可以使我们更加重视函数概念的教学，更加重视函数思想方法的研究。 函数概念的生活性引起函数思想方法的广阔性 函数概念虽然很抽象，但函数的具体应用充满着生活空间。可以说，我们的生活离不开函数，我们的每一个生产活动也离不开函数。许多关于数量的科学研究问题，只有引入函数才能表达清楚。生活中的每一个问题，只要引入变量，就可以与函数联系起来，而函数的变化千姿百态，于是就产生了千姿百态的函数思想方法。例如行程问题、浓度问题、生产成本核算问题、方程的解法问题、不等式的解法问题、面积问题等等， 函数思想在初中数学中的运用： 函数思想在代数中运用： 与方程（不等式）的解的问题相结合： 例1：已知方程的两根为且，。则实数的大小关系为（ ） ； B、； C、； D、 解析：设。在同一直角坐标系中分别作出函数的图像，观察图像与轴的交点可得答案为A 例2：方程的解的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、4 解析：设。在同一直角坐标系中分别作出函数的图像，观察图像的交点个数可得答案为B 与实际应用问题相结合：例3：现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车箱共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元。如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？ 解析：设用A型车厢节，则用B型车厢节， 由甲种货物1240吨和乙种货物880吨，可得： 化简可得： 所以 因为只能取整数，所以A型车厢可用24节或25节或26节。 即有相应的三种方案：①A型车厢24节，B型车厢16节； ②A型车厢25节，B型车厢15节； ③A型车厢26节，B型车厢14节. 另设总运费为y万元，则由题意可得： 有此可知，越大，越小，所以方案③的总运费最少，为26.8万元。 例4：在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站。检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的