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2012年全国硕士研究生入学考试 湖北师范学院自命题考试科目考试大纲 （科目名称：数学分析 科目代码:601） 一、考查目标 数学分析科目考试内容包括极限与连续、微分学、积分学和级数要求考生系统掌握相关内容的基本知识、基础理论、基本方法、基本计算，并能运用相关理论和方法分析、解决实际问题。 二、考试形式与试卷结构 （一）试卷成绩及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 （三）试卷内容结构 各部分内容所占分值为： 极限与连续 约40分 一元微积分 约40分 多元微积分 约40分 无穷级数 约30分 （四）试卷题型结构 计算题：4小题，每小题15分，共60分 证明题：6小题，每小题15分，共90分 (五)主要参考书目 华东师范大学数学系主编：《数学分析》（第三版），高等教育出版社2001年。 三、考查范围 （一）考查目标 1、系统掌握数学分析原理的基本概念、基础知识、基本理论和基本计算。 2、掌握和理解极限理论和方法，由此而产生的连续性、微分学、积分学和无穷级数。 3、能灵活运用基本定理和基本方法证明问题，能灵活运用基本公式计算问题，以及综合运用。 （二）考试内容 一）集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广。 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质。 二）极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）。 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用。 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系。 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）。 三）一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。 2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项)。 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（LHospital）法则、近似计算。 四）多元函数微分学 1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式。 2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换。 3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）。 4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法。 五）一元函数积分学 1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型。 2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类。 3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理。 4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法。 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），及其它应用。 六）多元函数积分学 1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）。 2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）。 3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）。 4.含参量正常积分及其连续性、可微性、