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求极限的几种方法 崔令坤 摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。 关键词：高等数学，极限方法能力。 定义:设函数在点的某个去心邻域内有定义，即存在 1.用极限定义求极限 例1：（1） 用放法证明: (2) 设 （1）证明： ，要 记 此式可改写成： 用到了二项展开式 得： 当时 至此要，只要 即 故令，则时，有 2） 证明： 当A为有限数时， 因为，故 使得，当nN时 有 从而，上式 注意：这里 已为定数，因而， 当时， 于是，令，则时 2.用Cauchy准则证明极限： 例：设试证收敛， 证明： 因为对有 ，（只要（即）），故令，则时， 有 ，收敛 从而，结论得证。 3.利用单调有界原理证明极限存在 要点：单调有界原理单调递增，有上界或，有单调递减，有下界。 例： 证明：数列 单调下降有界，从而有极限。 证明：利用已知不等式 有 故严格单调递减 又因为 即有下界，单调递减，故存在。数列与子列，函数与数列的极限关系 大家都知道数列与子列有如下的极限关系 （当时）任意子列有（当时） 类似的，函数与数列有如下的极限关系： ； 若，则有当时，作为分条件都可以减弱。 例：试证: 证明：只需证明充分性，而必要性显然成立 按已知条件当时， 又，当时， 于是令 ，则时恒有 故 5.利用等价代换和初等变形求极限 a 大家在求乘除极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变。 最常用的等降价关系如：当时， （其中）， 例：1) 2) 3) 4) 设有限数a,b,A均不为零，证明：的充分必要条件是 解答：1) 解：由于，故 原式= 2） 解：原式= 3） 解：原式= 4）证明：（）左边的极限存在表明：时，， 故 从而有： ===等价代换===== () 右边的极限存在表明：当时，由于对数函数的连续性可知， 即： ，故有 从而有: 注：等价代换原理，来源与我分数约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式不可作等价代换，否则会导致错误。 b.利初等变形求极限 要点：用初等数学的方法，将加以变形，然后求极限，主要对进行紧缩。 例：求 1）. 2) 3) 4) 1）解： 1）式的右边乘以 得： 从而 （当时，） 2) 解: 2)式乘以，再对分子反复利用 （当时） 从而 从而，有： 4）解： 从而，有： 6.利用已知极限 1）若，则 因为 2）若，则。 因为 Euler常数的经典极限：存在。 例1：求的极限 解： 原式= （其中C为Euler常数，当时，） 例2：试借用Stirling公式： 来求极限。 解： 从而，有 （其中C为Euler常数） 7 利用变量替换求极限 为了将未知的极限简化，或转化为已知的极限来求，可根据极限的特点，引入新的变量，来替换原来的极限过程，转化为新才极限的过程。 例：若 试证明： 证明：令 则当时，于是 从而有： 8 两边夹法则 当极限不易求出时，可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小，使原极限变为新的极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此极限值。 例：求极限的值 （1） （2） (1) 解: 由于几何平均数小于算术平均数，故分母中的因子 由此可知： 而 9 L’Hospital法则 （1）在使用L’Hospital法则之前，必须考虑它是否属于七种不定型之一。 不定行：“”，“”，“”，“”，“”，“”，“”。否则就不能用它。 例：1） 2） 3） 解： 由L’Hospital法则： 由于 . （2）L’Hospital法则并不是万能的，有时用L’Hospital法则求不出极限，并等于极限不存在。例如，就是如此。这是因为L’Hospital法则只是充分条件，而不是必要条件。 （3）L’Hospital法则告诉我们，对于型或型,当存在时也存在吗?请看下面的例子 例：求 解： 这是型，但我们并不能根据当时，的极限不存在，就错误地得出也不存在的结论----事实上，显然有。 因此，不存在并不表示本身存在或是不存在，它不仅仅意味着，此时不能使用L’Hospital发展，而应改用其他方法来讨论 （4）型的L’Hospital法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子趋不趋向没有