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正多边形的有关计算 　　 　　【基础知识精讲】 　　一、定理 　　正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 　　二、正多边形有关计算 　　 　　(1)正n边形角的计算公式：①每个内角等于(n为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝. 　　(2)正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系，所以，可以把正n边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距rn，另一条直角边是边长an的一半(即)；两个锐角分别为中心角的一半(即)和一个内角的一半(即)或(即90°-). 　　 　　【重点难点解析】 　　重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题. 　　例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数. 　　解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得：-＝100°. 　　 解得n＝9 　　答：这个正多边形的边数为9. 　　 　　例2.如图7-42，已知：正三角形ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积. 　　 　　解：连结OB，过O作OM⊥BC于M 　　∴∠BOM＝＝60°，∴∠OBM＝30° 　　∴OM＝OB＝R，∴γ3＝ 　　BM＝＝＝R 　　∴a3＝BC＝2BM＝R 　　∴P3＝3a3＝3R 　　∴S3＝3S△BOC＝3×R·＝R2 　　 　　例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比. 　　 　　解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH于K，连OB，O′G，则在Rt△ODB中，∠BOD＝＝60°，BD＝a3， 　　∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝a3， 　　∴S3＝6S△ODB＝6×BD·OD 　　 ＝6××a3×a3＝a32. 　　在Rt△O′KG中，∠GO′K＝＝30°，GK＝a6 　　∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝a6 　　∴S6＝12S△O′GK＝12××GK×O′K 　　 ＝12××a32×a6＝a62 　　∵S3＝S6， 　　∴a23＝a26 　　∴＝， 　　∴＝，即a3∶a2＝ 　　 　　例4.求证：正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半. 　　 　　证明：如图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的内切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝rn，∴S△OAB＝·AB·OD＝··rn. 　　∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形， 　　∴Sn＝nS△OAB＝n···rn＝Pnrn. 　　 　　【难题巧解点拨】 　　例1.已知：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角. 　　 　　解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K， 　　 　　中心角α＝∠AOB＝＝45° 　　在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝α＝22.5° 　　故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°， 　　∴AK＝0.3827R 　　∴a8＝AB＝2AK＝0.7654R 　　 r8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R 　　〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形. 　　(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角α＝， 　　边长an＝2R·sin，边心距ra＝R·cos. 　　 　　例2.已知如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积. 　　 　　解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC， 　　在Rt△OMB中，∠BOM＝＝60° 　　BM＝BC＝a 　　OM＝BM·ctg∠BOM＝a·ctg60°＝a 　　连结OE，作ON⊥EF于N， 　　则OE＝OM＝a 　　在Rt△ONE中，∠EON＝＝45°，OE＝a 　　∴EN＝OE·sin∠EON＝a·＝a 　　∴EF＝2EN＝a 　　∴S正方形DEFG＝EF2＝(a)2＝ 　　〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O的半径是个突破口. 　　 　　【课本难题解答】 　　例.已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为an，求证：同圆内接正2n边形的面积等于nRan，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示)