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高中物理竞赛讲义——微积分初步 一：引入 【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍八个角点电势相等将原立方体等分为八个小立方体,立方体的中心八个小立方体角点电势叠加电势之和，即=8U2 ； ②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度；二立方体的边长；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式及量纲知识，可立方体角点电势为==Ckρa2? ；其中常数，只与形状有关，Q是总电量，是电荷密度③ 大立方体的角点电势：= Ckρa2?；小立方体的角点电势：= Ckρ（）=? ?大立方体的中心点电势：=8U2=2 Ckρa2 ；即U0=U1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。 二：导数 ㈠ 物理量的变化率 我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=. 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同） 分析：我们知道，公式v=一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。 s(t)=3t+2t2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2 △s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2 v===3+4t+2△t 当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。 【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。 【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤： ①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式； ②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式； ③求出△y=y1- y0=f(t+△t)- f(t)； ④求出z==； ⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。 ㈡ 无穷小 当△t取很小时，可以用V=求瞬时速度，也可用i=求瞬时电流,用ε=求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t： △t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作： 第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=； 第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=； 第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=； ………… 第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=； ………… 一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为 △t=0。其中“”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算： ①（△t+C）=C ②C·△t=0 ③f(△t)=f(0) ④ f(t+△t)=f(t) ⑤ = 1 『附录』常用等价无穷小关系（） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ㈢ 导数 前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成: z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N等，甚至不限于对时间求导，如F=、Ex=、ρ=等。 这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。 如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： ⑴ 导数的四则运算 　=± 　　= 　　=·v + u· ⑵ 常见函数的导数 ①=0(C为常数)；=-sint； 　　=ntn-1 (n为实数)；=et； 　　=cost； 复合函数的导数 　　=· 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数称为链式法则。（ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问： ①求出t时刻的速度v ②写出合力F与位移x的关系 ③验证简谐运动中质点的机械能守恒。 【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁