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反证法逻辑原理 即证“完备性前提下的原命题的逆否命题” 作者：孙贤忠（湖南省长沙市第七中学 邮编：410003） 【摘要】：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题：若A则B若A则B已知定义,定理,大家都知道的事实逆否命题反证法反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“? ει? το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。?反证法所依据的逻辑思维规律?反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。反证法所依据的逻辑牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。 反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是： 欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。 反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：某命题：若A则B，则此命题有4种情况： 1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真； 2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假； 3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真； 4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真； 一个命题与其逆否命题同真假 与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A 假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的. 但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.若A则B若A则B已知定义,定理,大家都知道的事实若A则B若A……则B。于是逆否命题就是:若﹁﹁A﹁﹁﹁﹁﹁…… 设A1，A2，…，Am是命题公式， 如果A1( A2(…(Am是可满足的， 称A1，A2，…，Am是相容的。 如果A1(A2(…(Am是矛盾式， 称A1，A2，…，Am是不相容的。 如果要证A1( A2(…(Am (C 只需证明A1( A2(…(Am ( C是重言式。 而A1(A2(…(Am (C ( ((A1(A2(…(Am)(C ( ((A1(A2(…(Am ((C) 由此可知A1(A2(…(Am (C为重言式， 当且仅当A1(A2(…(Am ((C是矛盾式。 从而得到如A1，A2，…，Am，(C不相容（即(C(((A1(A2(…(Am)这就是A1( A2(…(Am ( C的逆否命题得证 ），则C是A1，A2，…，Am的有效结论。 因此我们可以把(C作为附加前提推出矛盾来，从而可以得到C是A1，A2，…，Am的有效结论。这种方法称为反证法，也是反证法的逻辑基础