y§3.函数的升降、凸性与极值.ppt

⑵ 斜渐近线 如何求出渐近线 呢？ ① 因 是常数，故 ② Prop: 直线 是曲线 的斜渐近线 a与b 由③与④式分别确定. 因此得 从而 由②得 ③ ④ 特别，当 a = 0 时，就是水平渐近线. 即： 直线 是水平渐近线 例3. 解：由于 故 x = 1 为 f (x) 的垂直渐近线. 又 故 故 是渐近线. 例4. 求双曲线 的渐近线. 解： 因函数在 例5. ① ② ③ 利用函数特性描绘函数图形, 一般步骤： 5. 函数的图形 (1) 确定函数 的定义域, 讨论函数的奇偶性、 对称性、周期性等性态; (2) 求出使 不存在的点, 把函数的定义域划分成几个部分区间; (3) 根据 的符号, 确定函数的上升或下降区间, 图形的上凸或下凸区间, 以及极值和拐点; 可列表讨论; (4) 确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线; (5) 描点作图. 描出极值点、拐点, 曲线与坐标轴的交点. 例12. 解： (3) 列表讨论如下： 表1. 函数的上升、下降和极值. 表2. 函数的上凸、下凸和拐点. x 0 (0, 1) 1 y ＋ 不存在 － 0 ＋ y 无定义 极小值 0 x 0 y ＋ 不存在 ＋ 0 － y 下凸 无定义 下凸 拐点 上凸 表3. 统一列表 x 0 1 y ＋ 不存在 － 0 ＋ ＋ ＋ ＋ 不存在 ＋ ＋ ＋ 0 － y 下凸 无定义 下凸 极小值0 下凸 拐点 上凸 (5) 曲线与坐标轴的交点为 (1,0) . 作图如下： y x 0.5 1 1.5 2 1 A C B y = 1 渐近线 O Matlab程序 例13. 解： （3）列表讨论如下： －2 －1 0 ＋ 0 － 不存在 － 0 ＋ － － － 不存在 ＋ ＋ ＋ 极大值 －4 极小值 0 上 凸 下 凸 无 定 义 又因为 (5) 曲线与坐标轴交于原点, 作图如下： y x -2 -1 O -1 -2 -3 -4 Matlab程序 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 五、小结 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察. 最大值 最小值 极大值 极小值 拐点 凹的 凸的 单增 单减 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式. 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 注4. Th.5 （极值判别法之二） 证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证. Th. 5 (1) (2) 定理5是定理5的特殊情形. 证明：根据Taylor公式, 有 例6. 解： 现列表讨论如下： x 0 y + 不存在 － 0 + y 例7. 解： 例8. 解： 三、函数的最大值和最小值 最大、最小、最省的问题 如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？ 最大值、最小值问题 y x a O b 注1： 函数在某一区间上的最大值和最小值, 也叫全局极值. 可导函数在[a,b]上的最大、最小值的求解步骤： 注2： 例9. 解： 所以函数的最大值是0, 最小值是－2. 例10. 某生产队要建造一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？ 解：用