6.5.函数的凸性与拐点.doc.docVIP

§6.5.函数的凸性与拐点 本节主要教学内容：凸函数的概念及其判别法；拐点的概念及其判别法。 教学方法与设计：复习函数单调性及其几何意义引入凸函数的概念；凸函数的判别法只证明引理，其余以几何意义讲授或说明为主；以凸函数的几何意义引入拐点的概念；对于拐点的判别法也以几何意义证之，重点讲授例题巩固之。 凸函数是一类重要的函数，它有着重要的理论意义和广泛的应用价值。 一、严格单调的不同情况与几何意义： 设在区间有定义： ，， 于是弦的方程为： 将代入得：与弦AB在处的纵坐标分别是： 与 当在向下鼓时有 当在向上鼓时有 二、凸函数的定义： 1、设在有定义，若，.　　有 则称为上的凸函数.或称在上是凸的。 （.） 反之，若。则称为上的凹函数，或称在是凹的。 2、严格凸函数的定义：去掉等号。 例：、、、、、、、 说明：（1）一般只讨论凸函数； （2）其他书籍上的定义可能不同。 例：证明：在是凸函数。 证明：，，有 = 故由凸函数的定义知在是凸函数。（其中用到） 三、函数的条件 1、引理：为上的凸函数有 几何意义： ， 证明： 由凸有　　　 即 或 整理即可 由上面推导的逆过程可得： 2、设在可导。则在是凸函数在单调增加。 证明.由引理有，由可导知， 令得；令得 故有。即在单调增加。 由拉格朗日中值定理有 3、设在可导，则在是凸函数有 几何意义：曲线始终位于曲线的切线之上方。 证明由2可得 有　　　　　　　　（1） 　　　　　　 　　（2） 由（1）；由（2） 故有，由（2）知在是凸函数。 4、若在二阶可导，则在为凸函数 证明：略 5、若在二阶可导，且在为严格凸函数。 说明：关于凹函数的定义及其判别法与此类似，只需将上述定义及结论中的反向即可。 例：判别下列函数的凹凸性 例：讨论的凸（凹）性区间。 解：凸；凹 例：若在可导，且为凸（凹）函数，则为的极小（大）值点为的稳定点，即 证明：由费马定理立即可得。 由凸函数的充要条件知有 而故.于是为的极小值点。 四、凸函数在不等式证明中的应用 1、詹生（Jengen）不等式 若为上的凸函数，则对，有 证明：应用数学归纳法 当时，由定义知命题成立 设时不等式成立：有 当有 2、若在二阶可导，且.则詹生不等式成立。 证明：（Ⅰ）用（1）可证 （Ⅱ）用泰勒公式可证 设则有 ， 分别乘以相加得 特别地： ， 例：常见的均值不等式：有 证明：设则，所以在是凸函数。取则有 即有 取可证左边的不等式成立。 例：证明： 证明：设，则在时为严格凸函数，故由Jensen不等式有 即，或 又，故 例：设为开区间内的凸函数，证明在内任意点都存在左、右导数。 证明：只证右导数的情况 设则有由引理有： 令，则由上式知为增函数。且，则且也有（引理）： 由于上式左端为常数所以有下界，故有右极限，即存在。 同理可证左导数的情况。 说明：若在为凸函数，则在连续。 五、曲线的拐点 1、拐点的定义 设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧是严凸和严凹的，则称点为曲线的拐点。也称为函数的拐点。 例： 说明：拐点定义的差别：一般教科书上：若为内点，在的两侧的凹凸性发生改变，则称为的点，即不要求在可导。 2、拐点的判别： （1）若在二阶可导，则点是的点的必要条件是。 （2）若在可导，在内二阶可导。在的两侧的符号不同，则点是的拐点。 说明：若在连续，在内二阶可导，结论仍然成立。 例：讨论函数的凹凸性及拐点 （1） （2）（概率曲线） （3） 7