(步步高2014届高三数学大一轮复习5.2平面向量基本定理及坐标表示教案理新人教A版.docVIP

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 2014高考会这样考　1.考查平面向量基本定理的应用；2.考查向量的坐标表示和向量共线的应用． 复习备考要这样做　1.理解平面向量基本定理的意义、作用；2.运用定理表示向量，然后再进行向量运算． 1． 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2． 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3． 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥bx1y2－x2y1＝0. [难点正本　疑点清源] 1． 基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2． 向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化． 1． 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　因为＝＋，又＝＋， ＝＋， 所以＝λ＋μ＝＋， 得到λ＋μ＝1，λ＋μ＝1，两式相加得λ＋μ＝. 2． 在ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________． 答案　(－3，－5) 解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝－＝(－3，－5)． 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________. 答案　0 解析　由ka＋b与b平行得－3(2k＋2)＝2(k－3)，∴k＝0. 4． 若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c等于(　　) A．3a＋b B．3a－b C．－a＋3b D．a＋3b 答案　B 解析　由已知可设c＝xa＋yb， 则，∴. 5． (2011·广东)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　B 解析　a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，而c＝(3,4)，由(a＋λb)∥c得4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝. 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求＋的值． 思维启迪：以，为基底来表示向量，建立x，y的关系． 解　根据题意知G为三角形的重心， 故＝(＋)， ＝－＝(＋)－x ＝＋， ＝－＝y－ ＝y－(＋) ＝－， 由于与共线，根据共线向量定理知 ＝λ＋ ＝λ， ∵，不共线， ∴＝ x＋y－3xy＝0， 两边同除以xy得＋＝3. 探究提高　利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算；向量的表示是向量应用的前提．  如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为_____． 答案　 解析　设||＝y，||＝x， 则＝＋＝－，① ＝＋＝＋，② ①×y＋②×x得＝＋， 令＝，得y＝x，代入得m＝. 题型二　向量坐标的基本运算 例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量的坐标． 解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，