[2012届高三数学总复习讲义——函数性质.docVIP

高三数学总复习讲义——函数性质 知识清单： 1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数. 2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。 判断函数单调性的方法： 定义法（作差比较和作商比较）； 图象法； 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）； 复合函数单调性判断法则; 导数法（适用于多项式函数） 注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。 3.偶函数 ⑴偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点. ⑵偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数. 满足，或，若时，. 4. 奇函数 ⑴奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点. ⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，若时，. 注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0） 5．反函数 ⑴定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. ⑵.求反函数的步骤: ①将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择； ②将互换，得； ③写出反函数的定义域（即的值域）。 ⑶.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称. [注]：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位. 是先左移三个单位，在的反函数. 6函数性质之间的关系 .⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数. ⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. ⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上. 注： 1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。 2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则① f-1[f(x)]=x,(x?A)②f[f-1(x)]=x,(x?C) 课前练习 1.讨论函数的单调性。 2．函数在定义域上的单调性为( ) （A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数; （C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数 3．已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。 4．判断下列函数的奇偶性： ①,②,③ 5．求函数 （-1≤ x 0）的反函数 6．已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。 7．若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( ) (A) (B) (C) (D) 8．设，则________. 9．函数与互为反函数的充要条件是___________. 10．若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__，=___ 典型例题 EG1．已知函数，，且 求函数定义域 判断函数的奇偶性，并说明理由. 变式1：已知是偶函数，定义域为.则 ， 变式2：函数的图象关于A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称是奇函数，则 变式4：函数的图象关于直线对称.则 变式5：函数在上的单调递增区间为 EG2、已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断. 变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. B. C. D. 变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D.或 变式3：已知定义域为的函数，对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”。已知下列函数：①；②；③； ④，其中是“有界函数”的是______（写出所有满足要求的函数的符号）． 设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系 EG3、已知函数，求，，的值 变式1：设则__________ 变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是 A. B. C. D. 变式3：设函数f（x）=