数学讲义：相似三角形判定和性质.docVIP

15、八年级数学培佳班：相似判定和性质 姓名 一、知识梳理 （1）本单元的知识结构 数学的单元复习最重要就是梳理知识，穿线结网，形成清晰的知识链，就“相似三角形”这一单元而言，其知识网络大致如图所示： 相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 一线三等角的变形 （五）一线三直角型： 双垂型： 相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展 【典型例题】 1．已知在平行四边形ABCD中，AC =AB； 求证：∠ABD =∠DAC 2．已知：如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，∠BAC=∠DAE． （1）求证：； （2）当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC． 3、在中, ∠ACB=90°, ,垂足为. 、分别是、边上一点,且=,=. (1 )求证∶=. (2 )求的度数. 4、如图，在中，，是边上的高，点E在线段上，，，垂足分别为．求证： （1）； （2）⊥． 【三等角问题】 （1）如图已知△ABC中，AB=AC,∠APQ=∠B， 求证:△ABP∽△PCQ 变式:等边△ABC的边长为6,点E在AC上,AE=2,BE的中垂线交AB于点P,交BC于点F 求 :的值. 【重心问题】 （重心问题）在ABC中，矩形DEFG的一边FG在BC上，点D、E分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，BC=10，AH=6.（1）如图4，若DG=2DE，求DE的长； （2）如图5，对角线DF与EG的交点过ABC的重心O，求矩形DEFG的面积. （面积问题）在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，平行四边形面积是10，点P是AB上一动点，（点P不与点A、点B重合），过点P作PQ∥AD交BD于Q，连结CQ，设AP 的长为x，四边形QPBC的面积为y。（1）写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；（2）是否存在实数x，使得？如果存在，求出x的值；如果不存在，请说明理由。 【易错小综合题测试】 1．（相似应用）如图，是用手电来测量古城墙高度的示意图, 将水平的平面镜放置在点P处,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD，CD⊥BD，且AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，则该古城墙的高度约是 米． 2. （相似性质综合）如图，在△ABC中，D是AB上一点，如果∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4cm， 若S△ABC =36cm2，则△ACD的面积是 cm2． 3．（多个知识点综合）如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=900，点D为腰BC中点，点E在底边AB上，且DE⊥AD,则BE的长为 . 4、（分类讨论）已知在中，，，，点D是射线 BC上的一点（不与端点B重合），联结AD，如果△与△ 相似， 那么BD＝ ． 5、（分类讨论）菱形ABCD边长为4，点E在直线AD上，DE=3，联结BE与对角线AC交点M，那么AM:MC的值是 . 6、（相似性质综合）如图3，中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB，DF∥AC， 若，的面积为9，则四边形的面积为 ． 7．如图4，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若AB=3，CD=1， 那么的正弦值为 ． 8．如图5，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且，. 若设，，则= ．（用向量、表示） 9．(图形运动)已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，AC=6，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A落在点A’，点B落在点B’. 若点A’在边AB上，则点B、B’的距离为 ． 10、（相似性质及重心）已知是的重心，点分别是边的点，∥，且经过重心，如果的周长是30厘米，那么的周长是 厘米． 11．（分类讨论）在中，，是的高，如果和相似，那么的度数为 ． 12．（图形运动