数学妙法第一章.doc

一元二次方程根的分布及应用 分类：学法指导 ??? 一元二次方程，令。 ??? （1）方程有一实根小于，另一实根大于的充要条件是且。 ??? （2）方程有一实根大于，另一实根小于的充要条件是。 ??? （3）方程有两实根，其中一根在（）内的充要条件是。 ??? （4）方程在（）内有两实根的充要条件是。 ??? 通过图象很容易得出这些结论，证明从略。下面举例说明其应用。 ? ? 例1. 已知方程的两根分布在区间（0，1）和（2，5）内，试求m的取值范围。 ??? 解：令 ??? 由结论（3）知，即为所求的m取值范围。 ? ? 例2. 已知关于x的实系数方程两实根为α、β，求证：如果，，则，且|b|4。 证明：由已知得方程在（-2，2）内有两实根α、β 令。 ??? 由上述结论（4）知 ??? 由不等式（2）（3）易得 ??? 由不等式（2）+（3）得b-4。 ??? 由不等式（1）得 ??? 由不等式（4）得 ??? 故 ??? 于是有 说明：正确找出两根的范围是应用上述结论的前提，至于二次项系数小于0时，则可将其变为大于0，再应用上述几个结论。 ? 含参一元二次不等式的求解策略 分类：学法指导 一、利用韦达定理求解 ?????? 例1? 如果关于x的不等式的解集是（mn0），求关于的不等式的解集。 ?????? 解：由题意知、为方程的两根，且，所以。 ?????? ∴，，代入得。 ?????? 因，，所以，即。 ?????? 由知，故所求不等式的解集为。 ? 二、利用分类讨论求解 ?????? 例2? 解的不等式。 ?????? 解：原不等式化为。 ?????? ①当时，有。 若，不等式的解集为。 若，不等式的解集为. 若，不等式的解集为。 ②当时，不等式的解集为。 ③当时，有，不等式的解集为。 说明：本题讨论标准分两类，第一类是依据二次项系数，第二类是依据二次方程两根的大小。 ? 例3? 解关于x的不等式。 解：①当即时，。 若△0，即时，不等式的解集为。 若，即时，不等式的解集为。 若，即时，不等式的解集为R。 ②当即时，不等式解集为R。 ③当即时，恒成立，不等式的解集为 。 说明：本题的讨论标准分两类，第一类是依据二次项的系数，第二类是依据判别式。 ? 三、数形结合，避免讨论 ?????? 例4? 设集合，， ，若，求的取值范围。 ?????? 解：，，，记，由，知=0的两根满足，由二次函数的图象得，解得。 ?????? 说明：对于数形结合问题，在熟练的基础上，不用画图，可以在脑海中想象图象的形状，使问题的解决更快捷。 ? 构造长方体巧解异面直线问题 分类：学法指导 一、线面综合性选择填空题 ??? 有关线线、线面综合性选择填空题主要是考查立几的基本概念，学生易入手，但又易出错，得分率一直较低。为了提高做题的准确性，我们可以引导学生充分利用学过的几何体如长方体等来解答问题。 ? 例1. 已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题： ??? （1）若α//β，，则m//n。 ??? （2）若m，，则α//β。 ??? （3）若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。 ??? （4）m、n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，则α//β。 ??? 上面命题中，真命题的序号是_____________________（写出所有真命题的序号） ??? 解：构造长方体如图所示，取ABCD为α，为β，AB为m，为n，则（1）不成立。 图1 取ABCD为α，CDD’C’为β，AB为m，EF为n，E、F分别是BC、AD的中点，则（2）不成立。 取ABCD为α，A’B’C’D’为β，AA’为m，BB’为n，由，，m//n，则n⊥β故α//β，（3）成立。 取ABCD为α，A’B’C’D’为β，MN为m，GH为n，其中M、N分别为DD’、BB’的中点，H、G分别在BB’、CC’上，且GH//BC，N、H不重合，则BC//β，BD//β，故α//β，（4）成立，从而真命题的序是（3）（4）。 ? ? 例2. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： A.?????????? 若，，，则l与m不共面； （2）若m、l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α； （3）若l//α，m//β，α//β，则l//m； （4）若l，，，，，则α//β。 其中为假命题的是（??? ） A. （1）???????????????????? B. （2）????????????????????? C. （3）??????????????????????????? D. （4） 解：构造长方体如图2所示。 图2 ??? 取ABCD为α，AA’为l，BC为m，则l、m