有关排列组合的常用解题技巧..docVIP

有关排列组合的常用解题技巧 1．相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有[ ] A．60种　　　 B48种 C．36种　　　　　D24种 分析 把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4 2．相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端． 【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ] A．1440 B．3600 C．4820 D．4800 3．定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ] A．24种 B．60种 C．90种 D．120种 分析 B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是 4．标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成． 【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[ ] A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 分析 先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B． 5．有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法． 【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ] A．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种 分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选 6．多元问题分类法 元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计． 【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有[ ] A．210个 B．300个 C．464个 D．600个 分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况， 【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？ 分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A，则A＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除 【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？ 分析 将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B、D中各取一个数的取法也符合要求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都 7．交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B) 【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？ 分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： 8．定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素． 【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种． 9．多排问题单排法 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理． 【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ] A．36 B．120 C．720 D．1440． 分析 前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素 【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？(高中代数甲种本第三册P82，23②