有关人口模型的建模题..docVIP

商丘师范学院2011-2012学年度第二学期期终考试 数学与信息科学学院 数学与应用数学、信息与计算科学专业 10级-1班、数本10-2班、信计10-1班）《》‰） 年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 人口 7285 7397 7519 7632 7737 7847 7985 8148 8317 年增长率 13.7 14.1 14.4 14.1 12.6 14 17.2 19.9 20.1 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 8491 8649 8763 8861 8946 9027 9100 9172 9243 9315 20.8 18.4 13.2 11.1 9.5 9 8.1 7.8 7.7 7.8 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 9387 9488 9555 9613 9667 9717 9768 9820 9869 9918 9967 7.7 7.1 6.9 6 5.6 5.2 5.3 5.3 4.9 5 5 三：符号假设 ：表示人口数目 ：表示年增长率； ：表示固有增长率； ：表示最大人口数量； ：表示年份,代表1980年； ：表示初始时刻（）的人口； 四：模型的建立与求解 模型一 指数模型 我们知道最简单的人口增长模型为指数增长模型。即记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则=。显然，这个公式的基本条件是年增长率保持不变,即是要保持每年年增长率大致不变的情况下才能使用此模型进行预测求解未来人口数量。假设人口增长率为常数，单位时间内的增量等于乘以。考虑到时间内人口的增量，显然有 令，得到满足微分方程 由这个方程很容易解出 . 通过此种数学模型对上述数据进行拟合，用MATLAB软件计算可得 0.0109 =3.5235 并得到指数增长模型拟合图（1）： 图（1） 指数增长模型拟合图形（1980年至2009年） 模型二 阻滞模型 阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将r表示为x的函数，则应是减函数。则可得到方程（1），其中 （2），当时人口不再增长，即增长率，代入（1）式得，于是（3），将（3）代入（1）得，（4）。事实上，方程（4）可以用变量分离法求解得到 。 下面利用计算机mathlab软件求解出（4）式的变形式（5）中的。 等式左边代表每年的自然增长率，可以通过数据表给出。 通过计算机得出0.0528442，=11096，其中11096.图形见表二。 运用此人口模型进行预测后得到从2012年至2052年每隔十年的人口数据见表（3） 图（3） 人口预测 （单位：万人） 年份 2012 2022 2032 2042 2052 人口 10120 10499 10736 10881 10968 对于阻滞模型计算出的未来人口数目，让我们拭目以待。 五、分析老龄化 采用人口普查资料、,预测河南省平均期望寿命,利用线性回归模型预测老年人口系数.结果预计到201年、202年、203年、204年和205年,河南省女性平均预期寿命分别为71.90岁、 72.64岁、73.24岁、 73.73岁和74.11岁男性平均预期寿命分别约为76.22岁、77.37岁、78.16岁、78.62岁和78.83岁河南省老年人口系数将分别达到8.47、9.73、10.99、12.25和13.51.河南省老年人口系数年代的增加呈线性增长趋势,回归方程分别为Y＝5.528+0.000 288X和Y=-244.793+0.126X. 河南人口抚养比在未来50年中发生了明显的变化。老年人口抚养比则从13.7%上升到54.6%，上升了40.9个百分点。同期，少儿人口抚养比下降，少儿人口抚养比从1990年的43.1%下降到2050年的28.8%，下降了14.3个百分点。由于老年抚养比增加的速度远远快于少年抚养比的下降速度，导致总人口抚养比从2000年的56.8%增加到205年的83.3%。 姓名：_________班级：_________学号：_________座号：_________ ……………………装……………………订……………………线………………………… 1