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平行四边形（提高） 撰稿：康红梅 责编：宋胜周 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 【要点梳理】 要点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 要点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 要点四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积：【典型例题】类型一、平行四边形的性质 1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长． 　　　　　 【答案】 　　　解得 　　　∴AB，BC的长分别是19和11． 【】 【答案】 解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB ∵CE为∠DCB的角平分线， ∴∠ECD＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠CEB， ∴BC＝BE ∵BC＝4，所以BE＝4 ∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3 ∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2 　　∴AE：EF：FB＝2：1：3. 类型二、平行四边形的判定 2、如图所示，ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF． 求证：AC与EF互相平分． 【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角线即可，这样，本题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了． 【答案】ABCD中，AB＝DC，AE∥CF． ∴ ∠CFE＝∠AEF． 又∵ DF＝BE，∴ CF＝AE， 而EF＝FE，∴ △CFE≌△AEF， ∴ ∠CEF＝∠AFE，∴ CE∥AF， ∴ 四边形AECF是平行四边形． 即AC与EF互相平分． 方法二：连接AF、CE，在ABCD中，DCAB． ∵ DF＝BE，∴ CF＝AE，∴ CFAE， ∴ 四边形AECF为平行四边形，即AC、EF互相平分． 【】3、（2012?沈阳）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形． （1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∴∠EAM＝∠FCN，又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．在△AEM与△CFN中，，∴△AEM≌△CFN；（2