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学生在数学学习中对无限的认识探究 【摘要】：数学是无限的科学，数学无限是推动数学发展的重要动力，但无限隐藏在相关数学概念中，中学对数学无限一般避而不谈。中学数学大纲没有明确提出学生对“无限”的认识目标。特别是学生对极限概念理解困难，极限概念成为学生学习微积分的“拦路虎”。鉴于此，笔者分层次考察学生对无限的认识，主要从以下两方面着手：线索一：学生对无限诸层次的认识状况。(1)初三、高三和大二学生实际达到的无限水平如何?影响学生诸层次无限认识的本质因素是什么?(2)在给出的每一层次的标准尺度的基础上，学生表现出怎样的较稳定的认知方式?容易出现哪些错误的心理模式?线索二：学生对相关数学无限概念的理解(1)学生如何认识数学概念中的无限?表现出哪些比较稳定的认知方式?(2)学生认识数学概念中的无限过程中容易出现哪些错误心理模式?首先，笔者界定了本文研究的无限。学生学习的数学中没有直接给出无限的定义，也不可能直接给出定义。无限包含于具体的数学概念中。有的以显性方式呈现，如自然数、平行线；有的隐含于数学概念中，如函数单调性、交换律。有的存在于某一特定对象的无限过程中，比如函数极限、从集合出发的超限数理论。本文研究的无限是具体数学概念中包含的无限。接着，从数学哲学、数学发展史、认识论三个角度出发，笔者将学生对无限的认识划分为5大层级，八大层次的金字塔结构。笔者界定了每一层次的涵义，并分析了各个层次之间的关系，并根据文献资料，精心编制了无限认识量表，在此基础上对学生的无限认识展开了研究。笔者以Spiro(1991)提出的个体学习的认知弹性理论，美国数学教育学家EdDubinsky的APOS理论为依据，运用潜、实无限辩证分析法、无限—有限辩证分析等方法，对学生的无限认识进行分析。笔者选取了小学、初中、高中、大学二年级共计500多学生作为实证研究的样本，作了问卷测试，并分别从每一年级各选出8名学生共计24名学生作为个案研究对象，对学生的个别访谈作了全程录像或录音。还对初三年级、高中、大二年级的部分教师作了访谈。获取了第一手数据资料后，用SPSS统计软件对数据进行统计分析。横向比较了同一年龄的不同学生的理解层次。通过个案访谈，笔者从数学无限的理解、数学思维、学生心理方面，分析了学生的无限认识状况，纵向比较了不同年龄学生的无限认识状况，分析了学生无限认识的心理倾向，得到了以下结论：1．从初三到高三学生无限认识的总体发展趋势高中阶段是学生无限水平蓬勃发展的阶段，具体表现为从初三到高三，学生的无限直觉水平、无限思辩能力显著提高，但到大二，这两方面并无显著差异。高三学生的无限直觉水平、无限思辩能力具有一定的稳定性。2．学生对无限本质的认识(1)“无穷大”的抽象化认识是具备初步直觉认识的重要标志；(2)“整体认知”是影响高级直觉认知的重要因素；(3)“动态分析”是演绎层次的重要标志；(4)理解极限的ε-δ定义中的“有分界”的无限是关键。3．学生对数学无限概念的认识(1)大二学生对连续、导数、定积分中的“无限逼近”思想认识不足(2)影响学生理解ε-δ定义的原因分析4．学生无限认识的心理倾向(1)生活经验在一定程度上阻碍学生对数学无穷大的认识(2)高三学生的无限思辩的心理倾向性特点(3)大二学生对“一一对应”和超限数的认识倾向在以上结论的基础上，对数学教学提出了建设性意见和建议：1．在教学中注重学生无限观的培养(1)在教学中抓住无限认识的开端(2)启发学生整体认知数学概念(3)教学中有意识采取有利于学生无限思辩的教学方法(4)注重对极限概念的动态分析(5)教学中注重对ε-δ定义中的“有分界”的无限的诠释(6)关于超限数理论的教学2注重提高中学教师的数学无限素养3对教材体系安排的一点建议4建议在数学课标中体现无限观培养的具体要求(1)明确提出无限观培养目标(2)建议在中学数学课程标准中增加无限观培养的一个实例5对教学评价的建议【关键词】：数学无限学生学习层次划分认知状况认知倾向 【学位授予单位】：华东师范大学 【学位级别】：博士 【学位授予年份】：2007 【分类号】：G633.6 【目录】：摘要6-9Abstract9-20第1章导论20-281.1问题提出的背景20-241.1.1数学无限的认识发展一瞥21-241.1.2对数学无限认识的窘状241.2研究的问题24-251.2.1研究的线索一:学生对无限的诸层次的认识状况和影响因素24-251.2.2研究的线索二:学生对相关数学无限概念的理解251.3本文研究的意义25-261.4论文的结构26-28第2章文献述评和研究思想框架的形成28-502.1关于无限的界定28-292.1.1关于哲学上的无限的界定28-292.1.2关于数学哲学上的无限的界定292.1.3本文所研究的数学无限的界定292.2无限思辩的两