第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答.doc

第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标 (r,?) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。 第1节 平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,? 函数。 体力：fr=Kr , f?=K? 面力： 应力：?r, ?? ,?r?=?? r 应变：?r, ?? ,?r?=?? r 位移：u r , u? 直角坐标与极坐标之间关系: x=rcos?, y=rsin? 平衡微分方程 几何方程 ， ， 变形协调方程 物理方程 平面应力问题： ， ， 平面应变问题将上式中，即得。 边界条件 位移边界条件：， 在 su 上 力的边界条件： 在 s? 上 环向边界 （r=r0） 径向边界 （?=?0） 按位移法求解 基本未知函数为位移u r , u? ，应变、应力均由位移导出。 平面应力问题时的应力由位移表示 上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。 , 力的边界条件也同样可以用位移表示。 7按应力法求解 在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题） 其中 在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题） 其中 力的边界条件如前所列。 应力函数解法 当体力为零 fr=f?=0时, 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数 ?( r, ?) 表示,而应力函数 ?( r, ?) 所满足方程为 ? 4?( r, ?) =0 或 而极坐标系下的应力分量?r, ??,?r? 由 ?( r, ?)的微分求得,即： ， ， 第2节 轴对称问题 2.1 轴对称问题的特点 截面的几何形状为圆环、圆盘。 受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量 f?=0 ； 在边界上 r=r0 ： , （沿环向的受力和约束为零） 。 导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的： 在V内 u?=0，?r?=0，?r?=0, ur=ur(r)，?r=?r(r), ??=?? (r), ?r=?r (r), ??=?? (r). 各待求函数为r的函数（单变量的）。 轴对称平面问题的基本公式 平面微分方程（仅一个）： 几何方程（二个）： ， 变形协调方程（一个）： ——变形协调方程 由几何方程： 或 物理方程(两个) 平面应力问题 ， 或 ， 平面应变问题时弹性系数替换。 按位移法求解 将 ?r、?? 用ur 表示，并代入平衡微分方程， 对于平面应力问题 位移法的基本方程为： 相应边界条件：轴对称问题边界r=r0（常数） 位移边界条件： 在 su 上 力的边界条件： 在 s? 上 平面应力问题的力边界条件用位移表示： 在 s? 上 当ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。 按应力法解 应力法基本方程 其中 边界条件为力的边界条件： 在 s?