空间向量与垂直关系练习题..docVIP

课时作业(十九) 一、选择题 1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若αβ，则k＝(　　) A．4　　 　B．－4　　 　C．5　　 　D．－5 【解析】　α⊥β，a⊥b，a·b＝－2－8－2k＝0. k＝－5. 【答案】　D 2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　) A. B.⊥ C.⊥ D.⊥ 【解析】　由题意知PA平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD平面PAC，故PCBD，C选项正确． 【答案】　D 3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若，＝(x－1，y－3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 【解析】　⊥，·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4， 又BP平面ABC，⊥，， 则解得 【答案】　B 4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DBAC，DCAB，AD＝BC，则点D的坐标为(　　) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)或 C. D．(1,1,1)或 【解析】　设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,1)．又DBAC?－x＋z＝0　，DCAB?－x＋y＝0　，AD＝BC(x－1)2＋y2＋z2＝2　，联立得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选D. 【答案】　D 二、填空题 5．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________. 【解析】　由题意知uv，u·v＝3＋6＋z＝0，z＝－9. 【答案】　－9 6．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________. 【解析】　由题意，知 解得x＝－64，y＝－26，z＝－17. 【答案】　(－64，－26，－17) 7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：AP⊥AB；AP⊥AD；是平面ABCD的法向量；∥.其中正确的是________． 【解析】　·＝0，·＝0， AB⊥AP，ADAP，则正确． 又与不平行， 是平面ABCD的法向量，则正确． 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， 与不平行，故错误． 【答案】　 三、解答题 8. 如图3-2-16，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 图3-2-16 求证：AM平面BDF. 【证明】　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M. 所以＝，＝(0，，1)，＝(，－，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n，n， 所以 取y＝1，得x＝1，z＝－. 则n＝(1,1，－)． 因为＝. 所以n＝－ ，得n与共线． 所以AM平面BDF. 9. 如图3-2-17，底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE平面ABCD. 图3-2-17 【证明】　法一　设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. 连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为. 因为＝(0,0,1)，＝， 所以＝.所以OEAS. 又因为AS平面ABCD， 所以OE平面ABCD. 又因为OE平面BDE， 所以平面BDE平面ABCD. 法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)， 因为＝(－1,1,0)，＝， 所以即 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)． 因为AS平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)． 因为n1·n2＝0， 所以平面BDE平面ABCD. 1．如图3-2-18，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列 图3-2-18 向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 【解析】　设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD－A1