数学选修2-2U1导数及其综合应用..docVIP

数学选修2－2 U1 导数及其综合应用 热点考向1 利用导数解决不等式恒成立问题 【例1】(14分)(2011·浙江高考)设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R. (1)若x=e为y=f(x)的极值点，求实数a； (2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0，3e］,恒有f(x)≤4e2成立. 注：e为自然对数的底数. 变式1：已知函数 (1)求函数 的单调递增区间； 若不等式f(x)≥g(x)在区间(0，+∞)上恒成立，求k的取值范围. 例2： 考向二：利用导数证明与函数相关的不等式问题 例1：(2011·济南模拟)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a=-1时，证明在(1,+∞)上f(x)+2＞0; (3)求证： 考向四：已知函数的最值（极值）求参数 例1：已知a、b为常数且a0,f(x)=x3+3/2(1-a)x2-3ax+b.函数f(x)的极大值为2，且在区间[0，3]上的最小值为-23/2，求a、b的值。（区间确定函数/参变量） 例2：已知函数f（x）=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b使f（x）在［-1，2］上取得最大值3，最小值为-29?若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由. 解：显然a≠0. f′（x）=3ax2-12ax=3a（x2-4x）. 令f′（x）=0，得x=0或x=4[-1，2]（舍）. a＞0时，如下表： x （-1，0） 0 （0，2） f′（x） + 0 - f（x） ↗ 最大值b ↘ ∴当x=0时，f（x）取得最大值.∴b=3.又f（2）=-16a+3，f（-1）=-7a+3＞f（2）， ∴当x=2时，f（x）取得最小值.∴-16a+3=-29.∴a=2. a＜0时，如下表： x （-1，0） 0 （0，2） f′（x） - 0 + f（x） ↘ 最小值b ↗ ∴当x=0时，f（x）取得最小值.∴b=-29.又f（2）=-16a-29，f（-1）=-7a-29＜f（2）， ∴当x=2时，f（x）取得最大值，∴-16a-29=3，a=-2 综上所述  例3：已知a0,函数f(x)=alnx/x,(1)讨论f(x)的单调性(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值。（函数确定区间） 例4：已知函数f(x)=x2e-ax(a＞0),求函数在［1，2］上的最大值. 当0＜a＜1时，f(x)的最大值为4e-2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a-2e-2, 当a＞2时，f(x)的最大值为e-a. 解: ∵f（x）=x2e-ax（a＞0）, ∴f′(x)=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令f′(x)＞0,即e-ax(-ax2+2x)＞0,得0＜x＜. ∴f(x)在（-∞,0),上是减函数，在上是增函数. ①当0＜＜1,即a＞2时,f(x）在（1，2）上是减函数,∴f（x）max=f（1）=e-a. ②当1≤≤2,即1≤a≤2时，f(x)在（1, ）上是增函数，在（,2）上是减函数，∴f(x)max=f（）=4a-2e-2. ③当＞2时，即0＜a＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f（x）max=