数学期望性质与应用举例..docVIP

5. 数学期望的基本性质 　 利用数学期望的定义可以证明，数学期望具有如下基本性质： 设ξ, η为随机变量，且E(ξ)，E(η)都存在，a，b，c为常数，则 性质1. E(c)=c； 性质2. E(aξ)=aE(ξ)； 性质3.?E(a+ξ)=E(ξ)+a； ? 性质4. E(aξ+b)=aE(ξ)+b； 性质5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)． 例3.5.7 设随机变量X的概率分布为:? ??? P(X =k)=0.2?????? k =1,2,3,4,5. 求E(X),E(3X+2)． 解.??? P(X=k)=0.2???k=1,2,3,4,5 ?∴由离散型随机变量的数学期望的定义可知 E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3， E(3X+2)=3E(X)+2=11． 例3.5.8.?设随机变量X的密度函数为: ????? 求E(X),E(2X-1)． 解.? 由连续型随机变量的数学期望的定义可知 ???? ? ? ??????? ????????? =-1/6+1/6=0． ?? E(2X-1)=2E(X)-1=-1． 我们已经学习了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望,在随机变量的数字特征中,除数学期望外,另一重要的数字特征就是方差.4.1.2　数学期望的性质　　（1）设 是常数，则有 。　　证　把常数 看作一个随机变量，它只能取得唯一的值 ，取得这个值的概率显然等于1。所以， 。　　（2）设 是随机变量， 是常数，则有　　 。　　证　若 是连续型随机变量，且其密度函数为 。　　 。　　当 是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。　　（3）设 都是随机变量，则有　　 。　　此性质的证明可以直接利用定理4.1.2，我们留作课后练习。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即　　 。　　（4）设 是相互独立的随机变量，则　　 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证　仅就 与 都是连续型随机变量的情形来证明。设 的概率密度分别为 和 ， 的联合概率密度为 ，则因为 与 相互独立，所以有　　 。　　由此得　　 　　　　　　 　　此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况。　　例4.1.2　倒扣多少分？　　李老师喜欢在考试中出选择题，但他知道有些学生即使不懂哪个是正确答案也会乱撞一通，随便选一个答案，以图侥幸。为了对这种不良风气加以处罚，唯一办法就是对每一个错误的答案倒扣若干分。　　假设每条选择题有五个答案，只有一个是正确的。在某次考试中，李老师共出20题，每题5分，满分是100分。他决定每一个错误答案倒扣若干分，但应倒扣多少分才合理呢？倒扣太多对学生不公平，但倒扣太少又起步了杜绝乱选的作用。倒扣的分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数，应该恰到好处，使乱选一通的学生一无所获。换句话说，如果学生完全靠运气的话，他的总分的数学期望应该是0。　　假定对一个错误答案倒扣 分，而正确答案得5分。随意选一个答案，选到错误答案的概率是 ，选到正确答案的概率是 ，所以总分的数学期望是 。要它是0，由此 ，即是对每一个错误答案应该倒扣 分。要是这样，对一个只答对六成的学生（但不是乱选一通之流）来说，他的总分仍然有 ，并不算不公平吧？　　例4.1.3　某制药厂试制一种新药治疗某种疾病。对600人作临床试验，其中300人服用新药，而另外300人未服，4天后，有320人康复，其中260人服用了新药。问这种新药疗效如何？　　[分析]（1）无论病人服药与否，可能的结果都有两个：痊愈与未愈，所以为了能够使用概率方法解决这个问题，应该想到引入两点分布的随机变量；　　（2）评价药物疗效好坏，仅对两组中的某两个个体的治疗效果进行比较是不行的，而应该比较两组病人的平均治疗效果。　　解? 引入 “病人服用新药后的结果”； “病人未服用新药的结果”。　　 ，????????????????????? ，　　由题设知　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 ， ，故 ，　　 ， ，故 ，　　比较 与 可知新药对治疗此种病疗效显著。　　例4.1.4　十个猎人等候野鸭飞来，当一群鸭飞来，猎人同时射击，但每人任选自己的目标，且不互相影响，若每一人独自打中目标的概率是 ，若10只野鸭飞来，计算没有被打中的鸭数的期望值。　　解　设　　 ??? 　　没有被打中的鸭数为 。首先计算 ，每一人打中第 只鸭的概率是 ，所以，　　 　　进而，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 。　　注　将一个“复杂”的随机变量分