数学分析习题解答..docVIP

§17.1 多元函数微分学 1．求下列函数的偏导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2.设；求 解法1：则 解法2： 3．设，考察函数f在原点（0，0）的偏导数。 解： 因为 不存在. 所以，在原点关于的偏导数为0，关于y的偏导数不存在。 4．证明函数 在点（0，0）连续但偏导数不存在 . 证明： 记则而 所以即在点连续. 然而，不存在，即不存在，同理不存在. 5．考察函数 在点（0，0）处的可微性 解： 同理而。所以，。即函数在点处可微。 6．证明函数在点（0，0）连续且偏导数存在，但在此点不可微。 证明：记，则等价于 （1） 即在点处连续。 （2），。即函数在点处偏导数存在。 （3）设则当 则不存在，所以函数在点处不可微. 7．证明函数 在点（0，0）连续且偏导 数存在，但偏导数在（0，0）不连续，而 在原点（0，0）可微. 证明：由于所以在点连续。 且同理 所以在点偏倒数存在。 但当时， 而不存在。 因此，不存在，从而在点不连续。同理可证在点不连续。然而所以在点可微 8.求下列函数在给定点的全微分： （1）在点（0，0），（1，1）； （2）在点（1，0）和（0，1）。 解：（1）因为在点连续，所以函数在可微。可得 （2）因为在点（1，0）、（0，1）连续，所以函数在（1，0）、（0，1）可微，由可得 9求下列函数的全微分： （1） ； （2） . 解：显然函数和的偏导数连续，于是和可微，且 （1）因所以 （2）因所以 10．求曲面在点（1，1，）处的切平面方程和法线方程。 解：因在处可微，从而切平面存在。 且切平面方程：即法线方程：即 11．求曲面在点（3，1，1）处的切平面方程和法线方程。 解：分别对求导得 得在点（3，1，1）处有，所以根据切平面方程定义得切平面方程为：，即9x+y-z-27=0. 法线方程为：即x-3=9(y-1)=9(1-z). 12．在曲面z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0；并写出这前平面方程和法线方程。 解：设所求点为，点处切平面法向量为： 要使切平面与平面x+3y+z+9=0平行，则有于是求得 则点为（-3，-1，3），且点处的切平面方程为： 即x+3y+z+3=0.法线方程为：即 13．计算近似值： （1） ； （2） . 解：（1）选函数于是 故 （2）选取函数则 所以 14．设圆台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm,高h=40cm.若T,r,h分别增加3mm,4mm,2mm,求此圆台体积变化的近似值。 解：圆台体积，于是，其中 将及代入上式得 §2 复合函数微分法 1．求下列复合函数的偏导数或导数： （1）设 ，求 解：令，由复合变量的求导法则有 = （2）设，求 解： （3）设 ，求 解： （4）设 解： （5）设 ，求 解：用分别表示函数对第一个中间变量与第二个中间变量的偏导数。 （6）设 解： 2．设，其中f为可微函数，验证 解：设 3．设其中f为可微函数，证明 证：设则 4．设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换，之下，+是一个形式不变量。即若，则必有+=（其中旋转角是常数） 证： 5.设 是可微函数， 试求 . 解： §17.3 方向导数与梯度 1．求函数在点 处沿 方向 （其方向角分别为60 ，45 ，60 ）的方向导数. 解：函数在点(1,1,2)处可微.且 于是沿方向的方向导数为 . 2. 求函数在点 到点 的方向上的方向导数. 解：函数在点A(5,1,2)处可微，且 而的方向余弦为.故在点A处沿的方向导数为 3. 求函数在点及点处的梯度以及它们的模。 解：因为所以 4. 设函数，其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式。 解： 因此 由，得，故使的点是满足方程的点，即在空间以为球心，以1为半径的球面上都有。 5．设函数 ，求它在点 的梯度. 解：因为 所以。 6. 证明： （1） （2） （3） （4） 证：设 （1） （2） （3） （4） 7．设 ，试求： （1） （2）grad . 解：（1）由得 （2）设，则 §4 泰勒公式与极值问题 1．求下列函数的高阶偏导数： （1） ，所有二阶偏导数； (2) ,所有二阶偏导数; （3） ， ， (4) （5）所有二阶偏导数. (6),所有二阶偏导数; (7) 解：（1） （2） （3） 于是 （4）由归纳法知 因此， （5） （6）令。则 （7） 2．设 ， ，证明： . 解： 于是