数值分析作业2..docxVIP

一、算法的设计方案1、因为根据要求要对该10×10的矩阵进行带双步位移的QR分解，所以要先把矩阵A∈进行拟上三角化，化成,给定精度水平为PrecisionLevel，以及最大的迭代次数L=1000。2、对矩阵A进行拟上三角化。记=A，并记的第r至第n列的元素为若(i=r+1,r+2,……,n;j=r,r+1,…,n)。对于r=1,2,….,n-2执行(1)若(i=r+2,r+3,……,n)全为0，则令，转(5),否则转(2)。(2)计算==-sgn()(若=0，取=)(3)令∈。(4)计算(5)继续。当此算法执行完后，就得到与原矩阵A相似的拟上三角矩阵。3、对矩阵A进行QR分解，即求得矩阵Q、R及RQ。记=A，并记=，令=I.对于r=1,2，……，n-1，执行(1)若(i=r+1,r+2,……,n)全为0，则令,。转（5），否则转（2）。(2)计算==-sgn()(若=0，取=)(3)令∈。(4)计算(5)继续。当此算法执行完后，就得到正交矩阵和上三角矩阵R==且有A=QR。4、对矩阵A进行带双步位移的QR分解法，求得其全部特征值，这也就是矩阵A的特征值。具体算法如下：(1)使用矩阵的拟上三角化算法把矩阵A∈化为拟上三角矩阵；给定精度水平PrecisionLevel，以及最大的迭代次数L=1000。(2)记==，令k=1，m=n。(3)如果，则得到A的一个特征值，置m：=m-1，转(4)，否则转(5)。(4)如果m=1，则得到A 的一个特征值，转(11)；如果m=0，则直接转(11)；如果m1，则转(3)。(5)求二阶子阵的两个特征值和，即计算二次方程的两个根和。(6)如果m=2，则得到A的两个特征值和，转(11)，否则转(7)。(7)如果，则得到A的两个特征值和，置m：=m-2，转(4)，否则则转(8)。(8)如果k=L，则计算终止，未得到A的全部特征值，否则转(9)。(9)记（），计算（I是m阶单位矩阵）（对做QR分解）(10)置k=k+1，转(3)。(11)A的全部特征值已经计算完毕，停止计算。其中的QR分解和的计算用下列算法实现:记。对r=1,2，……，m-1执行(1)若全为零，则令，。(2)计算，(若=0，则取=)(3)令。(4)计算(5)继续。此算法执行完后，就得到。5、最后再通过列主元高斯消去法，得到矩阵A的特征向量。先对原矩阵A作原点平移，平移量为它的实数特征值，再对平移之后的矩阵A作QR分解。解方程组AX=0求特征向量，即RX=0。因为R为上三角阵，令特征向量的最后一个元素为1，然后再进行迭代求解。这样，就求出了所有的值。二、全部源程序#includestdio.h#includemath.h//-------------宏定义-------------------#define n 10//表明矩阵是10×10矩阵#define PrecisionLevel 1e-12//精确度为#define L 1000//定义迭代次数为1000次//-------------函数声明-----------------void Triangularize(double A[][n+1],double P[][n+1]);void QR(double C[][n+1],double B[][n+1],int m);void Solve(double s1[],double s2[],double Vector[][3],int m);int Doublestep(double A[][n+1],double Vector[][3],FILE *fp);void GaussElimination(double a1[][n+1],double x[][n+1],double Vector[][3],int p);void EigenVector(double A[][n+1],double x[][n+1],double Vector[][3],FILE *fp);//--------------主函数------------------void main(){ int i=0,j=0,flag=0; double a[n+1][n+1]={0.0},P[n+1][n+1]={0.0},Vector[n+1][3]={0.0},x[n+1][n+1]={0.0},a1[n+1][n+1]={0.0}; FILE *fp=fopen(RESULT.txt,wt);//由于需要显示的内容过多而需要产生一个txt文件来全部显示/****以下为对矩阵A的初始化赋值****/ for(i=1;i=n;i++) { for(j=1;j=n;j++) { i