探究性问题..doc

探究性问题集锦 1．如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度． （1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度； （2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？ 1．解： (1) 设折叠进去的宽度为x cm， 则 (2x＋31) (2x＋21)＝875， 化简得 x2＋26x－56＝0， ∴ x＝2或－28(不合题意，舍去)， 即折叠进去的宽度为2 cm． (2) 设折叠进去的宽度为cm， 则 ①得≤－， 不符合题意； ②得≤－3， 不符合题意； ③得≤2； ④得≤－， 不符合题意； ⑤ 得≤2； ⑥ 得≤45． 综上， ≤45． 即折叠进去的宽度最大为45cm． 和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点. （1）求证：为等腰直角三角形. 图1 （2）将绕点A逆时针旋转，如图2，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由. 图2 （3）将绕点A逆时针旋转，如图3， （1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？ （不用说明理由）. 图3 我们是否可以猜想，将绕点A任意旋转 一定的角度，如图4，（1）中的“为等腰直角三 角形”均成立？（不用说明理由）. 图4 2．（1）证明： ∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点， ∴BM=EC=MC，∴∠MBC=∠MCB.∴∠BME=2∠BCM. 同理可证：DM=EC=MC， ∠EMD=2∠MCD. ∴∠BMD=2∠BCA=90°，∴BM=DM. ∴△BMD是等腰直角三角形. （2）（1）中的结论仍然成立. 延长DM与BC交于点N ∵DE⊥AB CB⊥AB， ∴∠EDB=∠CBD=90° ∴DE∥BC.∴∠DEM=∠MCN. 又∵∠EMD=∠NMC， EM=MC ∴△EDM≌△MNC. ∴DM=MN.DE=NC=AD. 又AB=BC，∴AB－AD=BC－CN ∴BD=BN.∴BM⊥DM. 即∠BMD=90°. ∵∠ABC=90°，∴BM=DN=DM. ∴△BMD是等腰直角三角形. （3）（1）中的结论成立. （4）（1）中的结论成立. 3．如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于． （1）求证：； （2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由； （3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由． 3．（1）在中，， ，，． ， ，． ，， ． ．． （2）由（1），而， ，即． 若，则，． ，．当或时，四边形为梯形． （3）作，垂足为，则．，． 又为中点，为的中点．为的中垂线． ． 点在h上，． ，． ．． 又，． 当时，上存在点，满足条件． 4． 如图1，△ABC与△ABD的面积相等， AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用： ① 如图，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，点M作ME⊥y轴，点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF． 点M，N如图3 MN与EF是否平行．（）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB， 垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．……1分 ∴ CG∥DH． ∵ △ABC与△ABD的面积相等，∴ CG＝DH． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD为平行四边形． ∴ AB∥CD． ……………………………3分 （）证明：连结MF，NE． …………………4分设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）． 点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上∴ ，．∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴， ∴ OE＝y1，OF＝x2． ∴ S△EFM＝，………………5分S△EFN＝．………………6分 ∴S△EFM ＝S△EFN． ……………… 分 由（1）中的结论可知：MN∥EF． ………分 MN∥E