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2008年全国高中数学联赛湖南省预赛试题(含详细答案)2008年全国高中数学联赛湖南省预赛试题(含详细答案)
二00八年湖南省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)
1.定义集合运算: .设,,则集合的所有元素之和为( )
A.16 B.18 C. 20 D.22
2.已知是等比数列,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知、为非零的不共线的向量,设条件;条件对一切,不等式恒成立.则是的( )
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充分而且必要条件 D.既不充分又不必要条件
5.设函数定义在上,给出下述三个命题:
①满足条件的函数图象关于点对称;②满足条件的函数图象关于直线对称;③函数与在同一坐标系中,其图象关于直线对称.其中,真命题的个数是
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和,、分别为、的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点
③的最大值为5 ④的最小值为1
其中真命题为( )
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
7.设,,,,则的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8. 设函数,且,,则( )
A.2 B.1 C.0 D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)
9.在平面直角坐标系中,定义点、之间的“直角距离”为
若到点、的“直角距离”相等,其中实
数、满足、,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 .
10.已知集合,若点、点满足且
,则称点优于. 如果集合中的点满足:不存在中的其它点优于,则
所有这样的点构成的集合为 .
11.多项式的展开式在合并同类项后,的系数为 .(用数字作答)
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为 .
13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有 不同的染法.(用数字作答)
14.某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,
其中,表示实数的整数部分,例如, 按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .
三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)
15.(本小题满分14分)设实数,求证:
其中等号当且仅当或成立,为正实数.
16.(本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军).对于每局比赛,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.
17. (本小题满分16分)已知函数在区间上的最小值为,令,,
求证:
18. (本小题满分18分)过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结
(1)当点在直线上运动时,证明:直线恒过定点;
(2)当∥时,定点平分线段
二00八年湖南省高中数学竞赛试题
参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时参照本评分标准适当档次给分.
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)
1.解:集合的元素:,,,,故集合的所有元素之和为16. 选A.
2. 解: 设的公比为,则,进而.
所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列.
.
显然,. 选C.
3. 解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第1类 ,一个场馆去3人
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