2008年全国高中数学联赛湖南省预赛试题(含详细答案).doc

二00八年湖南省高中数学竞赛试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.） 1.定义集合运算: .设，，则集合的所有元素之和为（ ） A.16 B.18 C. 20 D.22 2.已知是等比数列，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. ４．已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的（　　） Ａ．必要而不充分条件　　　　　　　Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数定义在上，给出下述三个命题： ①满足条件的函数图象关于点对称；②满足条件的函数图象关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题： ①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点 ③的最大值为5 ④的最小值为1 其中真命题为（ ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 7.设，，，,则的大小关系是（　　） 　Ａ．　　　　　　　　Ｂ． 　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ． 8. 设函数，且，，则（ ） A.2 B.1 C.0 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.） 9．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为 若到点、的“直角距离”相等，其中实 数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　． 10.已知集合，若点、点满足且 ，则称点优于. 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则 所有这样的点构成的集合为　　　　　　　　　　　　　　． 11.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为 .（用数字作答） 12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 . 13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答） 14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时， 其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 . 三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.） 15．（本小题满分14分）设实数，求证： 其中等号当且仅当或成立，为正实数. １6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”．试求此项赛事爆出冷门的概率． 17. （本小题满分16分）已知函数在区间上的最小值为，令，， 求证： 18. （本小题满分18分）过直线上的点作椭圆的切线、，切点分别为、，联结 （1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点； （2）当∥时，定点平分线段 二00八年湖南省高中数学竞赛试题 参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.） 1.解：集合的元素：，，，，故集合的所有元素之和为16. 选A. 2. 解: 设的公比为，则，进而. 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列. . 显然，. 选C. 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人