微积分的基本运算..doc

第4章 微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1． 复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3． 学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限 注:使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1) 在MatLab的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 方法2 (2) %自变量趋于无穷大,带参数t 在MatLab的命令窗口输入: syms x t limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) 运行结果为 ans =exp(6*t) 理论上用重要极限计算: (3) %求右极限 在MatLab的命令窗口输入: syms x limit(1/x,x,0,’right’) 运行结果为 ans = inf 2 有关函数导数计算的MatLab命令 (1)diff(F,x) 表示表达式F对符号变量x求一阶导数，允许表达式F含有其他符号变量，若x缺省，则表示对由命令syms定义的变量求一阶导数。 (2)diff(F,x,n) 表示表达式F对符号变量x求n阶导数。 例10 求下列函数的导数 已知,求； 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列: syms x y=x*asin(x/2)+sqrt(4-x^2) diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导完全吻合。 diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x^2)^(3/2)*x与理论推导完全吻合。 已知,求 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z z=x^2*sin(2*y); diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y) diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y) diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y) 已知,求 (复合函数求导偏导数) 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列: syms x y z u z=x^2+y^2; u=(x-y)^z; diff(u,x) %执行结果 (x-y)^(x^2+y^2)*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)) diff(u,y,2) %执行结果(x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))^2+ (x-y)^(x^2+y^2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y)^2) diff(diff(u,x),y) %执行结果 (x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)- (x^2+y^2)/(x-y))*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y))+(x-y)^(x^2+y^2)*(-2*x/(x-y) +2*y/(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)^2) 3 极值问题 MatLab软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令： fmin(f,x1,x2) 求函数f(x)在x1xx2区间取到极小值对应的x值。 fmins(f,[x1,x2]),求二元函数在点（x1 x2）附近的极值点。 例12 求函数的极值，并作图。 在MatLab的命令窗口输入如下命令序列: syms x f=2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7; xmin=fmin(2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7,-5,5) x=xmin; miny3=subs(f)