微分中值定理应用..docVIP

Liaoning Normal University （2011届） 本科生毕业论文(设计) 题 目：微分中值定理的应用研究 学 院：数学学院 专 业：数学与应用数学 班级序号：09数学23号 学 号：20091122060020 学生姓名：李石 指导教师：李劲松 2011年5月  目 录 摘 要 1 Abstract（Key words） 1 前 言 2 1微分中值定理及其证明 3 1.1罗尔定理 3 1.2拉格朗日中值定理 3 1.3柯西中值定理 4 1.4泰勒公式 4 1.5常用微分中值定理及内在联系 5 2 微分中值定理的应用 5 2.1证明方程根的存在性 5 2.2证明不等式 6 2.3讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值 7 2.4求极限 8 2.5泰勒公式 8 2.6求近似值 9 2.7用来证明函数恒为常数 9 2.8中值点存在性的应用 10 2.8.1一个中值点的情形 10 2.8.2 两个中值点的情形 14 2.8.3 含中值点的积分等式的证明 14 3小结 16 参考文献 17 致 谢 18  微分中值定理的应用研究 摘 要：微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理, 它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁. 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及确定根的存在性等几个方面的应用,以加深对微分中值定理的理解。 关键词：微分中值定理；拉格朗日中值定理；泰勒公式 Abstract（Key words）：The mid-value theorems is very important in mathematics analysis, it is the basic theorem communication function of the relationship between its derivative bridge. This paper introduced the case form mid-value theorem in the mathematical analysis, this paper discusses the application of mid-value theorem in the limit, proof inequality; and determine the existence of root from several aspects such as the application to deepen the understanding of differential mid-value theorem. Key Words: Differential mean value theorem in ；Lagrange；Taylor formula 前 言 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到了很多相关资料。 本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。 使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。 1微分中值定理及其证明 为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分, 微分中值定理作为微分学的核心, 是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理, 统称为微分学的中值定理, 这四个定理作为微分学的基本定理, 是研究函数形态的有力工具. 1.1罗尔定理 若函数满足如下条件： （ⅰ）在闭区间上连续； （ⅱ）在开区间内可导； （ⅲ）, 则在内至少存在一点使得 罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如