求和约定与张量概念..docxVIP

补充讲义求和约定与张量概念雷君相编上海理工大学二00九年九月十六日求和约定和张量概念(以三维空间为例)求和约定1．字母标号法①一点位置：──── （）②一点位移：────（）③轴向单位矢：────（）④方向单位矢：────（）⑤一点应力状态：── ()──⑥一点应变状态：────⑦偏导数：────────注：1）角标符号：成组的符号和数组都可用一个带下角标的符号表示，这种符号叫做角标符号。2)角标符号后的括号在不引起误会的情况下常可省略。3）如一个角标符号带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表了个元素。如：，有个元素。2.求和标号（哑标）:同一项中的重复标号表示求和，顺序取1,2,3，……。哑标二重哑标三重哑标哑标：算式中重复出现的角标叫做哑标。求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1至n的所有元素求和。 例： 即：（i=1,2，3）说明：（1）求和标号可用任何字母表示（或代替）。……（2）和式相乘，每一和式取不同标号。=（二重哑标）（）（）（四重哑标） =++ =++ =++而（）（）=（二重哑标）=++++++++===3.自由标号：同一项中不重复出现的标号称为自由标号。= j—求和标号，j=1,2,3；i—自由标号，i取1,2,3之一。 （线性代数方程）i为方程的序号，代表等式的数目又即：自由标号要改统一改，否则便不改。例： （平衡微分方程）i：自由标；j：哑标，。，。，。 （应力边界条件）i：自由标；j：哑标i=1 ，i=2 ，i=3 ，（或）（几何方程）4.Kronecker delta：即1）的运算公式： = = =2）与单位矢的关系，……。3）与方向余弦的关系新\旧:第一标号—原坐标第二标号—新坐标第一行为轴与x，y，z轴的方向余弦第二行为轴与x，y，z轴的方向余弦第三行为轴与x，y，z轴的方向余弦=，=即：且=又 4）的应用（1）更换字母标号：① （），即：。②求（2）简写方程：①，。②（矩阵表示）：二．张量概念标量：零阶张量：矢量：一阶张量： 张量：二阶张量： 分量（或元素）1.标量（Scalar） 绝对标量 与坐标选取无关的量称为不变量。2. 矢量（Vector）矢量与坐标选取有关，坐标系变化时要服从一定的规律。 （旧坐标中） （新坐标中）即 即为矢量转轴公式（坐标变换）。引申定义：已知：三个数，一个矢量， 若----不变量，则----构成矢量；若---矢量， 则---不变量。证明： （不变量）又为不变量。则故 。3.张量（Tensor）定义：有量在坐标转换过程中满足：（二阶张量的转轴公式）规律的量称量为张量，记为。引申定义一：已知：九个数，两个矢量，若——不变量（双线性组合），则。证明：而则（定义）。引申定义二： 已知：九个数，一个矢量，若，而，则。证明： 给乘矢量得（引申定义）。例：证明：一点的应力状态是张量。 单位面积上的内力----应力矢（全应力）设的面积为1，则面的面积为而，即 （引申定义二）是张量。4.张量的矩阵、种类； 单位矩阵1）对称张量： 六个独立分量，。2）反对称张量： 三个独立变量3）共轭张量：（反）对称张量（）转置后→（），则互为共轭张量。5. 张量的加减和分解： 1） 加减 即对应元素的加减。可能出现零张量。 2） 分解为对称张量和反对称张量 设其共轭，为对称张量；，为反对称张量。 而。例：应力张量：可分解为即 。6．张量的不变量和主方向：设单位方向矢，张量，，若，则为主值。所以，就是的主方向。练习题1. 写出下列各式的具体表达式： (a) (b) (c) (d) (e)。2. 简写下列各式： （a）； （b）。3. 证明下列等式： （a） ； （b） ； （c） ，其中，。