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Stewart型并联支撑机构运动学公式推导一、构型分析及坐标系建立静基座自动调平系统Stewart平台型并联支撑机构为双三角形机构，由一个活动上平台和一个固定的下平台所组成。上平台铰链点和基座平台铰链点的分布形式相同，但铰接点相互交错，六根支链分别用移动副和两个球铰链与上下平台连接。并联机构示意图如图1所示。图1 Stewart并联机构示意图支链与动平台铰接点为,,支链与基座铰接点标记为，,。坐标系选在平台的三角几何中心，由右手螺旋法则确定。动平台三角边长为，定平台三角边长为b，动平台起始高度为h。根据设定的初始值，各支链与定平台、动平台铰接点的坐标如表一所示。支链编号与定平台铰接点坐标与动平台铰接点坐标1B1（）A1（）2B1（）A2（）3B2（）A2（）4B2（）A3（）5B3（）A1（）6B3（）A3（）表一 铰接点坐标二、并联支撑机构正反解两个坐标系，o和，其中，o为固定坐标系。（1）将坐标系o绕自身的x轴旋转γ；（2）将旋转后的坐标系绕固定坐标系的y轴旋转β；（3）将第二步的坐标系绕固定坐标系的z轴旋转α；旋转矩阵分别为按上述方式得到的总旋转变换矩阵为：绕基坐标系旋转左乘，绕自身坐标系右乘设动平台的平移参数为（,,）,则坐标的齐次变换矩阵为：对于与动平台铰接的各点(i=1,2,3),点的齐次坐标为,经过变换后的点对应标记为,变换后的齐次坐标为,则，带入初始坐标后，得出变换后与动平台铰接的各点坐标值为：===设六个驱动器的伸展长度为(i=1--6),则与之相应的六个方程式表示为：======由经过上式推导得出的过程，称为Stewart平台的反解过程。Stewart平台的输入是六个驱动器的长度量，正解就是有输入的驱动器长度，得出末端，即运动平台的姿态。相反，反解就是已知所要的最终姿态参数，得出驱动器的伸长量。在Stewart平台的运动分析中，反解好求，而正解难。与串联机器人的运动学分析相反。三、并联支撑机构速度/加速度分析设为沿驱动器i的单位矢量，为驱动器i的长度，运动平台质心到点的位置矢量。和分别是运动平台在惯性参考系中的角速度和线速度矢量，则运动平台上点处的速度矢量为：矩阵形式为：式中^表示矢量的反对称矩阵。对一个矢量x，有通过将运动平台上点处的速度矢量向驱动器方向投影（即用单位矢量点乘点的速度矢量），可以得到驱动器i的上下两部分沿驱动器方向的相对移动速度：上式推导过程（右手定则）：将上式写为矩阵形式为：， i=1,2,…,6用一个广义速度矢量V来表示运动平台的角速度和线速度，即末端直角坐标速度：用六维矢量来表示六个驱动器的上下两部分沿驱动器方向的相对移动速度，即关节速度。联立成统一矩阵形式为：式中66维矩阵称为末端直角坐标速度对关节速度的影响矩阵。上式给出了Stewart平台直角坐标速度对关节速度的变换关系。当给定某一时刻平台的位移参数以及在这个时刻平台的角速度及线速度，则可利用该式求得六个驱动器的运动速度，即Stewart平台机构的速度反解方程。相反，机构的速度正解就是根据某一时刻的位移参数以及6个驱动器的运动速度求解该时刻平台的角速度及线速度，有：矩阵J就是Stewart平台的雅克比矩阵。运动平台处的加速度可通过平台质心的角加速度和线加速度得到：对求导，得出：上式中，为运动平台上点处的加速度，将此项中的部分项展开，有：将上述两式相减，有：上式推导过程： = = = 用单位矢量点乘方程右边最后一项，有：化简得到驱动器的上下两部分沿驱动器方向的相对移动加速度，即关节加速度为：式中，为雅克比矩阵的第i行。Stewart平台的加速度反解方程可写为：矩阵H称为加速度影响矩阵。Stewart加速度正解方程：式中，，符号表示矩阵的广义标量积，相当于把前面的矩阵看成一个常数，运算时用后面矩阵的每一个元素乘以前面的矩阵。例如，对于矩阵A和B，有：