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第1章辅导——向量方法典型题讲解 　１．若向量a，b，计算a与b?的模长，内积和夹角． 解 [理论] a，模∣a∣ b，内积a·b ， 　　　　　　　夹角余弦 |a|＝, |b|＝, a?b?, a，b ． 2．若向量a，b，计算ab． 解 [理论] ab． ?3．三角两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 证明　[关键]　用表示或用表示 　??? [理论]　 a，b，c构成三角形时， a＋b＋c０ 如图所示，设a，b，c， 则a＋b＋c０，于是 ?cab ?cabaa? 说明，且． 4．以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形． 证明　[公式]　a，b，c构成三角形时，a＋b＋c０ 如图，设c，a，b，则a＋b＋c０． 设分别为△三边的中点， 则a，b ， c ， abc（abc）０，即，以中位线，，为边可作成一个三角形． 5．试证明，以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形． 证明　[理论]　a，b，c构成三角形时，a＋b＋c０ 如图，设c，a，b， 则a＋b＋c０． 设m，n ，l， 则以m，n，l为边可作成一个三 角形当且仅当m＋n＋l?０． 在△中 　 　mca 在△中 nab 在△中 l? bc＃ 以上三式相加得 m＋n＋l? a＋b＋ca＋b＋c＃０ 于是三条中线构成三角形． １．填空题 １）在仿射变换下梯形变成（　　）． ２）仿射变换把平行四边形变成（　　） ３）仿射变换把三角形中位线变成（　　）．４）仿射变换把三角形重心变成（　　）． ５）在仿射变换下，矩形变成（　　）．６）仿射变换把圆变成（　　）． ７）仿射变换把圆心变成（　　）．８）仿射变换把等腰三角形变成（　　）． 解 [理论]　仿射变换性质：　　　仿射变换保持简比不变． 　　　　　　　仿射变换保持平行性．　　仿射变换不保持角度不变． 答：１）梯形．２）平行四边形．３）三角形中位线．４）三角形重心．５）平行四边形．６）椭圆．７）椭圆中心．８）任意三角形． 2．在实轴上，三点坐标分别为，求三点的单比． 解 [理论]　用公式 　　　． 3．设通过与两点的直线被直线截于点，求单比． ??解 [关键]　 求出交点，用公式 ． 4．求使三点，，的对应点分别为，，的仿射变换式． ?解 [关键]　 仿射变换把点变成时， 把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可． 代入三对对应点得 解得 带入仿射变换式，得到所求的仿射变换式 　　　 　 5．求使直线的每个点不变，且把点变成点的仿射变换． 解 [关键]　 在直线上再任取两点，这两点保持不变，即对应点仍分别是这两点，三对对应点唯一确定一个仿射变换。 [理论] 仿射变换把点变成时， 把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可． 设所求的仿射变换为 ， 在直线上任取两点，， 则所求的仿射变换把三点，，，分别变成点，，，将这三对点代入仿射变换式得 　　　　 　 　 解得 因此，所求的仿射变换式为 1．填空选择题 　　１）射影对应把平行四边形变成（　　　）．２）射影对应把矩形变成（　　　）． ３）射影对应把梯形变成（　　　）．４）射影对应把三角形中位线变成（　　　）． ５）射影对应把三角形中线变成（　　　）． 解　［理论］１）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变． ２）单比不是射影性质，在中心投影下会改变． ３）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变． ４）角度不是射影性质，在中心投影下会改变． 答：１）任意四边形．２）任意四边形．３）任意四边形． ４）相交于两腰的任意一条直线．５）过这个顶点和对边上任意一点的直线． 2．设，，为三条定直线，，为二定点，其连线过，点为上的动点，且直线，分别交，于点，，求证：通过上一定点． 证明　[关键] 这个题目是要证明的连线通过上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”． [理论] 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线． 取所在直线为影消线，经过中心投影之后，为无穷远直线，如图2所示， 则，为平行四边形． 于是 ，， 所以 因此，与的象交于无穷远点， 所以，与相交于上一定点． 3．证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． 证明　[理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． 如图所示，若三点形与的对应边 与的交点，与的交点，与 的交点共线， 考虑三点形，， 由于与，都交于点， 由笛沙格定理，三组对应边的交点， ，共线，