机器人及其控制第二章..docVIP

第二章：数学和物理基础—— 空间描述和变换 预备知识 0.1 向量：有向线段。 向量加法满足平行四边形法则，即 问题：既有大小又有方向的量是否为矢量？ 一般规定向量为列向量 而在MATLAB中，向量指的是行向量。 向量的点积(a在b上的投影)： 如果a，b是单位矢量，且它们夹角为则 称为夹角余弦。 有了点积的概念，一个向量a在3维直角坐标系内的坐标为，即在3个坐标轴上的投影 且 向量的长度为（在3维直角坐标系内）： 两个3维向量的叉积（只能在3维空间定义） 0.2 矩阵：数的排列 矩阵A，B相乘得矩阵D定义为： 设 ， 则 即矩阵相乘表示矩阵A的第i行乘以矩阵B的第j列。 矩阵相乘满足结合律 但不满足交换律 分块矩阵相乘的求法 设 ， 则 这说明分块矩阵相乘时，把对应的块看做矩阵元素，按照矩阵的乘法相乘即可。 分块矩阵求逆 设： 则 证明（根据逆矩阵的定义） 0.3 惯性系存在。 刚体：是这样一种质点组，组内任意两质点间的距离保持不变。 性质： 自由刚体的自由度是6，非自由刚体的自由度6. 刚体的6个自由度可以这样选取：刚体上某一定点（称为基点）和其姿态。刚体的定点一般选取其质心，而姿态为在刚体上建立坐标系，称为本体坐标系。 刚体的运动方式有： 平动，当刚体运动时，其上所有质点具有相同的速度和加速度，以一个质点的运动就可以表征整个刚体的运动。 转动，当刚体运动时，刚体上有一点的位置保持不变。 蔡斯尔定理：刚体的一般运动为平动加定点转动。（其实还有第二部分内容） 数学证明 定义:令,若对所有均有 则称h是一个(Euclid)等距变换. 定理: 令,为的映射,则 映射h是一个等距变换当且仅当它保持点积不变; 映射h是一个等距变换当且仅当它保持正交不变. 定理: 令,那么h为一个等距变换当且仅当它是一个正交变换后接一个平移变换的复合,即当且仅当h具有如下形式 其中A为正交矩阵. 证明:给定h,令,并且定义 那么由直接计算得 因而k是一个等距变换当且仅当h是等距变换. 由于,因此k是等距变换当且仅当 其中A为正交矩阵.然而这种情况当且仅当 时才会发生. 0.3 Matlab相关内容 向量的函数 dot(a,b): cross(a,b): norm(a) a=1:3;b=7:9; c=dot(a,b);d=cross(a,b);e=norm(a); c,d,e c =50 d = -6 12 -6 e = 3.7417 符号变量 syms a b c d A=[a b;c d]; A=sym(‘[a b;c d]’); syms e1 e2 A=sym([cos(e1) (-1)*sin(e1); sin(e1) cos(e1)]); B=sym([cos(e2) (-1)*sin(e2); sin(e2) cos(e2)]); C=A*B; C D=simple(C); D C = [ cos(e1)*cos(e2)-sin(e1)*sin(e2), -cos(e1)*sin(e2)-sin(e1)*cos(e2)] [ sin(e1)*cos(e2)+cos(e1)*sin(e2), cos(e1)*cos(e2)-sin(e1)*sin(e2)] D = [ cos(e1+e2), -sin(e1+e2)] [ sin(e1+e2), cos(e1+e2)] 符号矩阵的转置 A=sym([a b;c d]); B1=A;B2=A.;B3=transpose(A); B1,B2,B3 B1 =[ conj(a), conj(c) conj(b), conj(d)] B2 =[ a, c b, d] B3 =[ a, c b, d] 反正切函数 function z=Atan(y,x) % 此函数为带象限的反正切函数 if y==0 x==0 z=0; elseif x==0 y0 z=pi/2; elseif x==0 y0 z=3*pi/2; elseif x0 z=atan(y/x); elseif x0 z=atan(y/x)+sign(y)*pi; end return; Atan(0,1),Atan(1,1),Atan(1,0) Atan(1,-1),Atan(0,-1),Atan(-1,-1) Atan(-1,0),Atan(-1,1),Atan(0,0) 0 0.7854 1.5708 2.3562 0 -2.3562 -1.5708 -0.7854 0