l概率证明题.docVIP

三、证明题（每题5分，共10分） 1、证明：事件在一次试验中发生次数的方差不超过。 1、证明：对任意实数，有 1．证明：若随机变量的分布函数为是严格单调函数，则。 证明 取值（0，1）区间 当时： 当时： 当时： 的分布函数： 的密度函数： 可见，。 2．设，证明） 解 的取值是 当时， 当时， 的密度函数： 从而 3．证明：若随机变量，证明：。 4、利用Chebyshel不等式证明：chebshel大数定律 设是相互独立的随机变量序列，其均值、方差均存在，且对任意的（为常数），则对任意的，都有 5、利用Chebyshel不等式证明chebshel大数定律： 设是相互独立的随机变量序列，其均值、方差均存在，且对任意的（为常数），则对任意的，都有 6、利用Chebyshel不等式证明辛钦大数定律： 设是独立同分布的随机变量序列，其均值为、方差存在，则对任意的，都有， 7、证明：对任意实数，有 8、设是在上取值的随机变量，证明的数学期望与方差满足 9、设是非负的连续随机变量，证明：对任意，都有 9、证明：假如个随机变量相互独立，且同分布，则在时有 10、证明：对任意两个随机变量都有 其中， 11、在的两边和随机地、独立地各取一点和（如图）。证明四边形的面积的数学望是面积的。 9、设为两个随机变量，证明：对任意实数，都有 9、设为两个随机变量，为任意实数，且与同号，证明： 9、对于任意二事件A 和B，， 称做事件A和B的相关系数. （1）证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零； （2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明 解 (1) 由的定义，可见当且仅当 P(AB)-P(A)P(B)=0, 而这恰好是二事件A和B独立的定义，即是A和B独立的充分必要条件. (2) 考虑随机变量X和Y: 由条件知，X和Y都服从0—1分布： ， 易见 ， ； , ; 因此，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数. 于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明： 在区间（0，1）上服从均匀分布。 设随机变量X的分布函数为，且0ab , T0 (1)证明 （2） 求 的分布函数。 设随机变量X的概率密度函数f ( x ) 满足 f ( x ) =f ( -x ) 试证明：对任何正实数a0 ,X 的分布函数F ( x )满足 。 3 A P Q C B