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第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考 柯西资料 * * 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. 定理 证 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕] 柯西积分公式 柯西介绍 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 例1 解 由柯西积分公式 例2 解 由柯西积分公式 例3 解 由柯西积分公式 例４ 解 根据柯西积分公式知, 例5 解 例5 解 由闭路复合定理, 得 例5 解 例6 解 根据柯西积分公式知, 比较两式得 课堂练习 答案 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在 边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函 数的重要工具. 柯西积分公式: