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也谈正三角形在解(证)题中的作用 干一镇中心学校初中分校 谢红涛 对于竞赛而言,几何中角度的计算占一定的比例.如果是选择题和填空题,可以通过量角器与尺规作图就可以达到几近正确的选项.然而,是解答的话,往往通过准确的画图,得到比较正确的结论以后,再动手答题.我在这些年的辅导中,找出比较典型的几个例子.说明几何的特色是三种简单的思维转换.即角的替换,边的替换,比的替换.而正三角形可以达到多边替换与多角替换,是我们不能忽略的.在解题中往往简单明了.给人耳目一新,振聋发聩.那么,我找出几个例子,和大家共同探讨. 例题1:已知等腰三角形ABC,AB=AC,P为三角形内一点,角PBC=10度,角PCB=20度,角BAC=80度,试求BAP的度数? 解法:以边BC作正三角形BCE,连AE过点A作AF平行PC交BP延长线于F,连CF,EF. AB=AC,EB=EC,则AE为BC中垂线,由三线合一可得,角BAE=40度,角BEA=30度 AF平行PC,角CPF=角AFP=30度,角ABF=40度.AB公共.三角形ABF全等于三角形ABE 角BAE=角ABF=40度,AE=BF,可以得到ABEF为等腰梯形,即ABEF四点共圆,角BFE=角BAE=40度.角FBE=70度,可以得到FB=FE.CB=CE,则FC为BE中垂线,由三线合一,则角BFC=20度. 同理.APCF四点共圆,角BFC=20度=角PAC 所以角BAP=60度 通过构建正三角形,得到两个等腰梯形,运用等腰梯形的性质.让解答简洁,明了.解法新颖独特! 例2:已知等腰三角形ABC,AB=AC,P为三角形内一点,角PBC=10度,角PCB=30度,角BAC=80度,试求BAP的度数? 解法:以边BC作正三角形BCE,连AE.BE.CE. BE=CE,BA=CA,,则AE为BC中垂线,由三线合一可得角BEA=30度,角EAB=10度 三角形ABE全等于三角形BPC,BP=BA,可得角BAP=70度 正三角形的构建,能够产生多角替换和多边替换,实行全等位移,然后通过等腰三角形的性质解题,使整个解答过程酣畅洒脱,赋有美感. 例3::已知等腰三角形ABC,AB=AC.角BAC=100度,BC=AD,求角BCD的度数 解法:以边BC作正三角形BCE,连AE.BE.CE. AB=AC,EB=EC,则AE为BC中垂线,由三线合一可得BAE=50度,ABE=100度. AB=AC,BE=BC=AD,角CAD=100度,三角形ACD全等于三角形ABE,所以角ACD=角BAE=50度.故BCD=10度 我们常说.代数之妙在于提,几何之妙在于补.将图形合理的补充.解题思路形成思维定势,用一个一个知识点去完善嫁接.这道题目的解题思路是构建等边三角形------中垂线的产生----全等转换-----外角性质 例4:在三角形ABE中,AB=BC=CD.角ABC=78度,角 BCD=162度.求角E的度数 解答:以AB为边作正三角形ABF,连AF,BF,DF, 则角FBC=角DCE=18度,BF//CD.BF=CD=BC,则四边形BFDC为菱形.DF=AF ,则角AFB=60度=2倍的角E+18度 角E=21度 此题之妙,在于构建正三角形后,能够得到菱形. 其解题思路是:正三角形---菱形------外角性质 多边替换是这道题的特色! 例5:如图,在三角形ABC中,角BAC=角BCA=44度,M为三角形ABC内一点,使得角MCA=30度,角MAC=16度.求角BMC的度数?解答:以AC为边作正三角形ABE,连BE. AB=CB,AE=CE,那么EB为AC的中垂线,由三线合一可得,角AEB=30度,角ACM=30度,有已知条件可得,角EAB=角MAC=16度,AE=AC,所以三角形ABE全等于三角形CMA,即AB=AM,角BAM=28度,所以,角BMC=360-134-76=150度. 此题解答方法同例2,让我们加深这样的一个循环过程.正三角形的构造------中垂线的应用------全等转换---------角度计算 例6:在三角形ABC中,M为三角形内一点,角ABC=60度,角MBC=20度,CM平分角ACB,且角ACB=20度,求角BAM的度数? 解答:延长CA至点E,使得CB=CE,CM公共,CM平分角BCA,所以三角形CBM全等于三角形CEM,则ME=MB,角EMB=60度,三角形BME为正三角形,BE=BM,角EBA=20度,角BEC=80度,由三角形内角和可得,角BEA=角BAE=80度,所以BE=BA,故BA=BM,角ABM=40度,所以角BAM=70度 这里,抓住角平分线构造图形翻折,形成正三角形.再实施多边替换,从而达到解题的目的.整个过程轻松而回味无穷! 例7:如图所