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《展开与折叠》典型例题1.
《展开与折叠》典型例题
例1 填空
(1)六棱柱有_____个顶点,有_______条侧棱.
(2)是_________的表面展开的平面图。
例2 观察下图,请指出哪个图是长方体表面的平面展开图.
例3 请画出一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体的平面展开图,并标出各部分的长度.
例4 请你把几何体和它的平面展开图用线连起来。
例5 已知一个正三棱锥,请画出它的展开图.
例6 已知一个正三棱柱,请画出它的平面展开图.
例7 在图中,各图形都是由六个大小相同的正方形拼接而成,它们是否可以折成一个正方体?为什么?
参考答案
例1分析 (1)通过观察六棱柱可知,六棱柱有12个顶点、有六条侧棱.
(2)观察可以发现展开图有六个边长相等的长方形,并且有两个边长和长方形宽相等的六边形,所以是六棱柱的表面展开平面图.
解 (1)12,六.(2)六棱柱.
说明 (1)我们知道四棱柱有8个顶点,五棱柱有10个顶点,六棱柱有四个顶点……,以此类推n棱柱有2×n个顶点.(2)观察棱柱的展开图,首先作为底面的多边形必须是相同的多边形,另外多边形的边数必须等于展开图中长方形的个数.
例2 分析 因为长方体相对两个面是相同的长方形,且相邻的两个面相交的边,长度相等.所以,(1)和(4)可以围成长方体.
解 见分析
说明:在研究长方体的展开图时,必须研究长方体本身的特征.
例3 分析 如图,这个长方体的上下两个面是长和宽分别是5cm和4cm的长方形,前后两个面是长和宽分别是5cm和3cm的长方形,左右两个面是长和宽分别是4cm和3cm的长方形,所以该长方体的展开平面图如下:
解 (如下图)
说明(1)这个长方体的展开图不是惟一的,真正做长方体盒时其展开图还要因用料的尺寸而定。(2)真正做盒时还应考虑到接口部分的用料。
例4 分析:此题实质就是在让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱体的表面的平面展开图。
解
说明:半圆也是扇形的一种,所以有的圆锥的侧面展开图就是半圆。
例5 分析:这又是一例文字性题目,在题目中没有具体的一个正三棱锥,因此,需要同学们自己先画出这个立体图形,再想象一下它的展开图的形状.
解:设已知的正三棱锥如图所示,展开图如图所示.
说明:我们给出两种不同的展开图,目的在于让同学们体会因展开方式不同会有不同的结果,但是它们都可以还原为原立体图形.
例6 解:设原正三棱柱如图.它的展开图如图.
以上两种情况都符合条件.
说明:在此例中我们给出两种展开的方法,它还可以有不同的展开方式,让同学们自己动手试一试吧!
例7 解:为了表述的方便,我们随机地把六个小正方形编上数码.
(1)正方形2、3、4、6可折成一个无底的正方体,但正方形1、5重合,不能折成完整的正方体;
(2)正方形1、5正好可折成正方体的两底,可以折成一个正方体;
(3)正方形1、3可以折成正方体的两底,所以可以折成一个正方体;
(4)正方形2、3在折的过程中重合,所以不能折成正方体;
(5)正方形2、3或4、5在折的过程中重合,故不能折成正方体
说明:由一个正方体拆分成或展开成一个展开图时,因展开的方式不同,所以会有不同的展开图.这时由展开图还原为正方体时,就要考虑是否成立,此时,成立的条件是六个小正方形在折的过程中不能有重合部分即可.
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