I5.5随机变量函数的分布.docVIP

5.5 随机变量函数的分布 一、背景介绍 前面从理论上讨论分析了随机变量的分布规律，然而对许多实际问题，随机变量的分布并不容易求得；另一方面，有一些实际问题往往并不直接对分布感兴趣，而只感兴趣分布的少数几个特征指标，例如分布的中心位置，散布程度等等。 引例，要比较两个冰箱厂生产的冰箱质量，一方面要比较它们的平均使用寿命，平均寿命越长质量越好；另一方面还要比较两个厂产品寿命相对于平均寿命离散程度的大小，离散程度大的质量不稳定，离散程度小的质量比较稳定，比较可靠。 可见，产品的重要质量指标，平均寿命及质量的稳定性均表现为具有一定特征的参数或数字。知道了这类特征参数或数字，就能对随机变量分布的统计规律一目了然。这类能够直观反映出随机变量分布特征的数字就称为数字特征，包括数学期望和方差。 二、随机变量的数学期望及其性质 定义1 设离散型随机变量的分布列为 ， 则和式称为X的数学期望。记为? 若X取值为可列个，无穷级数绝对收敛，则称该无穷级数之和为X的数学期望，记为 注意：假如上述无穷级数不绝对收敛，则称该随机变量X的数学期望不存在。 定义2 设连续型随机变量X的密度函数为，若广义积分绝对收敛，则称该积分为连续型随机变量X的数学期望，记为 注意：当上述广义积分不绝对收敛时，称X的数学期望不存在。 数学期望亦称为期望或均值，由于完全由随机变量的概率分布所确定，所以也称为分布的数学期望。 下面给出随机变量函数的期望计算公式： 定理 设随机变量X的函数Y=f(x)，则有 例1 甲、乙两个工人生产同一种产品，若一天中他们生产的废品数分别为随机变量X与Y，且已知X与的概率分布分别为 X 0 1 2 3 ? Y 0 1 2 3 Pk 0.4 0.3 0.2 0.1 ? Pk 0.3 0.5 0.2 0 设这两人的日产量相同，问哪位工人的生产技术更要好些？ 解：仅从概率分布看，不好直接对哪位工人的生产技术更好一些作业评论，但由数学期望的概念，我们可以通过比较E（X），E（Y）的大小来对工人的生产技术作业评判，依题意可得 　　　 　　　 由于，故由此判定工人乙的技术更好一些。显然，一天中乙生产的废品数平均比甲少。 例2　某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数 　　　（单位：万小时） 公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。 解：设Y表示售出一台机器的获利。则Y是X的函数，即 于是 =1000 即该公司售出每台机器平均获利1000元。 下面给出随机变量数学期望的性质 性质1　 E（C）=C（C为常数） 证明：只需将X看成为是以概率1? 取常数C的随机变量即可： 因为随机变量，其分布列为，由期望的定义，有：。 性质2　E（CX）=CX（C为常数） 证明：以连续型随机变量为例，设X的密度函数为，由连续型随机变量期望的定义 性质3　 （b为常数） 证明：设连续型随机变量X的密度函数为，则 　　　　　 　　　　　 性质4　 （a，b为常数） 由性质2，性质3，不难推出性质4成立。 性质5　设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望存在，则有。 性质5可以推广到n个随机变量。 推论1　设有n个任意的随机变量，它们的期望，存在，则有 即n个随机变量和的期望等于各百期望之和。 推论2　设有n个任意的随机变量，它们的期望存在，则有 即随机变量的算术平均值的期望等于随机变量的期望的算术平均。这在后面数理统计中常要用到。 性质6　设是相互独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有 即两个相互独立的随机变量乘积的期望等政协委员 自期望的乘积。 推论　设n个随机变量相互独立，且各自的数学期望存在，则有 注意：性质5与性质6条件上的差别。对“求和”，不要求随机变量相互独立，对于“求积”，则要求随机变量相互独立。这是因为证明“积”的性质时，用到随机变量相互概念，否则，不一定成立。 适当应用这些性质，可以简化期望的计算。 例3　设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为 X 9 10 11 ? X2 6 7 Pk 0.3 0.5 0.2 ? Pk 0.4 0.6 求：（1） 解：因为 EX1=9×0.3+10×0.5+11×0.2=9.9 EX2=6×0.4+7×0.6=6.6 所以，（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=9.9+6.6=16.5 （2）E(X1X2)=E(