求极限的方法及例题 求极限的方法及例题总结.docVIP

求极限的方法及例题 求极限的方法及例题总结 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x?2 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 lim(3x?1)?5 2．极限运算法则 定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B （2）limf(x)?g(x)?A?B limf(x)A?,(此时需B?0成立)g(x)B （3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 1 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 limx?1x?1?2x?1 (3x?1)2?223x?33lim?lim?x?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4解：原式=。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 limn(n?2?n?1)n?? nn[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以lim?n??n?2?n?1 解：原式=limn??3?21??nn?32。 (?1)n?3n limnn??2?3n例3 上下同除以3n ? 解：原式 3．两个重要极限 1(?)n?1lim?1n??2n()?13。 sinx?1x?0x（1） lim （2）x?0 lim(1?x)?e1xlim(1?)x?ex??； 2 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， sin3xlim?1lim(1?2x)?2x?elim(1?)3?e例如：x?03x，x?0，x??；等等。 利用两个重要极限求极限 1x 1?cosxlim2例5 x?03x xx2sin2 ?lim?1limx?0x?0x63x212?()2 2解：原式=。 2sin2 注：本题也可以用洛比达法则。 2 x 例6 lim(1?3sinx)x?0 1?6sinx?解：原式=x?0 lim(1?3sinx)?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinx?e?6。 lim( 例7 n??n?2n)n?1 n?1?3n 解：原式= 。 ?3?3?lim(1?)n??n?1?3?3?lim[(1?)]?e?3 n??n?1 n?1?3n 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当x?0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)?0），仍有上面的等价 23x2ln(1?x)3x?xe?1关系成立，例如：当x?0时，～；～。 x?x0时的无穷小，且f(x)～定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是 f1(x)，g(x)～g1(x)，则当 x?x0limf1(x)f(x)limg1(x)存在时，x?x0g(x)也存在且等于3 f(x)x?x0limf1(x)f(x)f(x)lim1limg1(x)，即x?x0g(x)=x?x0g1(x)。 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 lim 例9 x?0xln(1?3x)arctan(x2) 2?x?0时，ln(1?3x)arctan(x)～x2， 3x解：～， 原式=x?0limx?3x?3x2。 ex?esinx lim例10 x?0x?sinx esinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)lim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx解：原式=。 注：下面的解法是错误的： (ex?1)?(esinx?1)x?sinxlim?lim?1x?0x?0x?sinxx?sinx原式=。 正如下面例题解法错误一样： limx?0tanx?sinxx?x?lim?033x?0xx。 21tan(xsin)limsinx例11 x?0 解：?当x?0时，x2sin111是无穷小，?tan(x2sin)与x2sin等价xxx， x2sin 所以，原式=x?0 lim1?limxsin1?0x?0xx。（最后一步用到定理2） 五、利用无穷小的性质求极限 有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行