(新)按应力求解平面问题——精品.ppt

Inverse method 逆解法 Semi-inverse method 半逆解法 Airy应力函数的物理意义 存在问题：在解题的过程中找应力函数的盲目性较大 一、艾里应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点上的物理意义 二、采用边界 及其导数的力学意义来选择应力函数 艾里应力函数的物理意义 应力函数的物理意义 （a）此组应力满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。 解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程 ; （3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 上）。 此式 和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得 例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 解：应变分量存在的必要条件是满足变形 相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，则 例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在： 解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当 ）。 例5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程， 因而都可以作为应力函数使用。 解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程）， (a) 例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力， x y l o q ql h/2 h/2 再校核边界条件，在主要边界上， 再将式（b）表达式代入次要边界条件， 其主矢量为 而主矩为 其主矢量为 其主矢量为0， 而主矩为 由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。 q(x) x y l o h/2 h/2 例7 在材料力学中，当矩形截面梁（度 ） 受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为 （a）试由平衡微分方程（不计体力）导出 切应力 和挤压应力 的公式。 （提示：注意关系式 积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。） （b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定 f (y),并校核梁的左右边界条件。 （a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式， 得: 两边对y积分，得 再由上下的边界条件 将 代入平衡微分方程的第二式, 对y积分，得 得 由上下的边界条件， 按应力求解应力边界问题时,在常体力的情况下 在边界上满足应力边界条件。在多连体中,上列应力分量还应当满足位移单值条件。 相容方程 平衡微分方程 应满足 3.常体力下按应力的求解 平衡微分方程——非齐次微分方程组-通解+特解 齐次微分方程 通解 特解 （其中的三组特解） 根据微分方程理论，偏导数具有相容性： 若设函数 f =f (x，y)，则有 假如函数C和D满足下列关系式 那么，对照上式，一定存在某一函数f，使得 数学补充 求齐次微分方程组通解： 根据全微分条件,这就一定存在某一个函数 一定存在某一个函数 比较两式 齐次微分方程 比较得到： 根据全微分条件,这就一定存在某一个函数 即得通解 不论 是什么样的函数,上式应力分量总能满足平衡微分方程。函数 称为平面问题的应力函数, 也称为艾瑞(B.Airy)应力函数。 同