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利用Matlab设计IIR数字滤波 在数字信号处理当中，数字滤波器又占有相当重要的位置。因为任何需要我们处理的信号都包含有噪声，而滤波是去除噪声的基本手段。数字滤波器简单的说就是一种用来过滤时间离散信号的线性时不变系统，通过对采样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。根据其单位冲激响应函数的时域特性可以分为两类：无限冲激响应(IIR)滤波器和有限冲激响应（FIR） (1) 同样，两个序列卷积的z变换等于各自z变换的乘积，即： (2) 用代入上式，则可得到时域离散系统的频谱特性： (3) 式中和分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频谱特性，而则是单位采样序列h(n)的频特性谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列经过滤波后变为。因此，只需要按照输入信号频谱的特点和我们处理信号的目的，选择适当的频域响应，使得滤波后的输出信号频谱满足我们设计的要求。 二、具体设计步骤 推导滤波器最小阶数与设计指标的关系 滤波器阶数就是其系统函数的极点个数。为了避免滤波器的复杂程度与我们的要求不匹配，造成不必要的成本浪费，我们在滤波器设计前先需要确定其合适的阶数，即满足设计要求的最小阶数。下面就分别以Butterworth滤波器和Chebyshev1型滤波器为例，推导其阶数的数学模型。 ①对于Butterworth滤波器，若给出滤波器的设计指标为：通带截止频率，阻带截止频率，通带最大纹波，阻带最小纹波。因为滤波器幅频特性为： （4） 其中为3dB截止频率，N为滤波器阶数。所以当以及时，可得到： (5) 然后由与的关系式可得到： (6) 由上面的(5)式和(6)式可以联立求得： (7) 通过上面的结果我们就可以求得滤波器阶数N为： (8) 所以滤波器的最小阶数就是大于上式所求得的值的最小整数。 ②对于Chebyshev1型滤波器，推导方式和上面类似，同样的给出滤波器的设计指标为：通带截止频率，阻带截止频率，通带最大纹波，阻带最小纹波。因为滤波器幅频特性为： (9) 又因为通带内起伏的等纹波参数，系数，所以可以得出滤波器阶数为： (10) 式中。滤波器的最小阶数就是取大于上式的值的 最小整数。 双线性变换法设计Butterworth低通滤波器 双线性变换法是在完成模拟系统设计后，再进行反变换，从模拟系统函数得到数字系统函数。它没有采样过程，不存在频率混叠问题，适应于各类滤波器的变换，但是变换在高频区域会出现强烈的非线性。下面就是基于Butterworth模拟原型滤波器，使用双线性变换法设计数字低通滤波器的过程。设计指标为：通带截止频率=0.2π,阻带截止频率=0.3π，通带最大纹波Rp=1dB，阻带最大纹波Rs=15dB，采样频率Fs=20000Hz。同时，为了检测滤波器的性能，我们假定一个输入信号，其中f1=1000Hz，f2=4000Hz，将该信号与通过滤波器之后产生的输出信号进行比较以测试滤波器的性能。 得到的Butterworth低通滤波器幅频特性和相频特性曲线为： 由语句[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)我们可以用Matlab得出滤波器的最小阶数N=6。再利用上面我们推导出的式（8），将滤波器各项指标代入可以算出N=4.7433，取大于它的最小整数得到滤波器的最小阶数为5。二者并不一致，但差距只有1，说明我们推导出的计算Butterworth滤波器最小阶数的数学模型存在误差，但误差不大。又因为Matlab计算滤波器的最小阶数也是估算出来的，所以这个这个误差在接受范围之类，我们推导出的数学模型可以认为是正确的。 输入信号和经过滤波后的输出信号图像为： 总结 本文中采用双线性变换法设计了一种滤波器——Butterworth低通滤波器。通过比较幅频特性和相频特性曲线，我们可以看出用双线性变换法设计出的简单低通滤波器的频谱特性。由于采样频率有限，所以用双线性变换法时也并没有表现出很强烈的非线性。再比较输入信号和经过滤波后的输出信号图像，我们可以发现，双线性变换法设计出的IIR数字滤波器的滤波性能还挺好的，输入信号有很多的小尖峰，但是经过滤波后，这些干扰的小尖峰都被滤除了，获得了效果很好的信号，对信号的处理是一个很大的提高。另外，我们利用Butterworth滤波器的频域响应函数与通带最大纹波以及阻带最小纹波之间的关系推导出了其滤波器