几何学是一门基础学科思维学科..docVIP

慧眼识图——提炼相似三角形中的基本图形 黄玲君 平面几何在初中数学教学中一直占据着很重要的位置。学生在对几何知识进行学习和掌握的过程中，最重要的一个部分是能够应用到实践中进行解题。而对于大多数的公办初中学生来说，学习几何时不懂得如何变通，不知道如何寻找所需要的条件，感觉几何问题解决时无从下手，进而失去信心。因此教给学生解题思路和解题技巧，是帮助学生提供学习兴趣，认识几何魅力的有效方式。 在相似三角形教学过程中时，发现学生对相似三角形中的大多数基本图形比较熟悉，比如A字型（图1）、反A字型（图2）、8字型（图3）、反8字型（图4）、母子直角三角形（图5）。但对于除此之外的一些基本图形往往“熟视无睹”，为此，我结合教材内容，设计了一节复习课。 一、自主预习： 已知，如图，点F、C、D共线，BD⊥FD, EF⊥FD ，BC⊥EC ,若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为 。 说明：由于本题图形较为简洁，学生根据自己的观察和已有经验很快提炼出“一线三直角”（也称K字型）基本图形，其中的一对相似三角形（△BDC∽△CFE），然后根据对应线段成比例求出结果。 二、例题精析： 如下左图，AB⊥BC，DC⊥CB，垂足分别为B、C。当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD。如果存在，求出线段BP的长；如果不存在，请说明理由。 由于有了自主预习的讲评，学生对“一线三直角”这一基本图形有了较好的认知，因此，比较容易想到：如果存在点P满足条件，则有上面的右图，从而解决问题。 解题后，对于解题过程中所用到的知识和方法、思维流程的反思回顾是必要的。注意到解题过程中，由∠C=∠B=∠APD=90°,得出∠BAP=∠CPD,∠BPA=∠CDP，进而得出△ABP∽△PCD是解题的关键，不难提炼出基本图形。 让学生基于自身的解题过程中积累的经验来总结提炼数学基本图形，符合“在学生已有的知识经验基础上开展数学教学活动”这一课程理念。学生初做此题时，经过思考一般都能独立完成，但可能所花费的时间较多。据了解，不少学生在选择解题突破口时，孤立地看待垂直条件，因此不能快速获得解题方法。基本图形的提炼和明确，使得学生在面对类似的问题时，提高对“一线三直角”这一基本图形关注，从而快速获得解题思路。 三、巩固应用： 应用1——基本图形应用情景从直角梯形到正方形的变式 已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不与A、B重合），使得△CDM与△MAN相似。若能，请指出点N的位置；若不能，请说明理由。 由于本节课的前两题均与“一线三直角”这一基本图形有关，学生很容易想到过M点作MN⊥CM，交AB于点N，则易证△CDM∽△MAN，又由于点N不与A、B重合，因此另一种情形不符合条件。 这是一个与相似三角形有关的存在性问题，在提炼出“一线三直角”这一基本图形之前，学生习惯从两边夹角方面去思考，这当然也是有效的，但相对所花时间较多，而有了该基本题型之后，学生的解题过程较为自然流畅。同时，从直角梯形到正方形的变式，使学生进一步丰富了基本图形的应用情景，也能让学生体会到提炼基本图形的价值，进而获得成功体验。 应用2——基本图形应用情景拓展到等腰三角形中的应用 如图，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=16,点P、D分别在边BC、AC上，BP=12, ∠APD=∠B。求CD的长。 学生限于自身水平，基本图形提炼过程中，往往很难一步到位，由于学生对基本图形应用情景从直角梯形到正方形的变式的认识有些浅表化，还存在着明显的模仿痕迹。基于这样的考虑，我认为有必要延伸和拓展对基本图形的现有认识，引导学生更深入地把握上学基本图形的本质特征，在熟练应用的基础上进行拓展。 在前面的例题与练习中的基本图形是由一线和三直角组成，利用外角定理或三角形内角和易证两个三角形相似，不难拓展到一般图形（下图），不一定需要有三个直角，只需三个相等的角即可，这样用K字型来命名给基本图形更加贴切。 应用3——基本图形应用情景拓展到等腰梯形中的应用 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是等腰梯形，BC//OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为轴上的一个动点，点P不与点O、点A重合。联结CP，过点P作PD交AB于点D。 （1）求点B的坐标； （2）当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，这时点P的坐标。 由基本图形中的同一直线上有三个角相等，不难联想到等腰三角形