再探“高超”的数学解题策略---以退为进(孙贤忠)长沙市一等奖..docVIP

再探“高超”的数学解题策略---以退为进 作者 孙贤忠 （湖南省长沙市第七中学，邮编410003） 【摘要】：通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从整体上把握住问题，形成解题的初步（有时甚至只是模糊的）策略（解决问题的想法，解决问题的方向，解答的范围等等）。以退为进就是将解题的初步策略付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近解题目标，是否能缩小解答所在的范围等等，这样一步一步地探索，直至找到解题途径。 【关键词】：以退为进 策略 联想 观察 尝试 【正文】：以退为进是探索式思维的一种重要方法，在解题中如何着手进行以退为进？下面几种一般的以退为进方法常常被采用。 一、简单化，化难为易 常见的解数学题的探索过程是连续化简过程，因此，将难题简化是以退为进的一个基本方法。 1、从简单情形入手 首先考虑符合题意的最简单情形，以退为进找出这种情形的解法，然后再过渡到一般情形。 例1设m、n是任意实数，试在平面上找出所有这样的点，它位于方程 x2+y2-2mχ-2ny+4(m-n-2)=0 表示的曲线系中的每一曲线上。 分析 显然，我们所要寻找的点就是曲线系中所有曲线的公共点，其坐标应满足曲线系的方程（不论m、n是什么实数）。 既然如此，所求的点就应该在曲线系中的任一曲线上，于是，我们先以退为进考虑m1=n1=0和m2=0,n2=1两种简单情形，相应地得到曲线系中的两条曲线： c1 : x2+y2-8=0, c2 : x2y2-2y-12=0 而所求的点必定是c1和c2的交点，将c1与c2的方程联立解得 x1=2 x2=-2 y1=-2 y2=-2 于是，一般情形（m、n为任意实数），就变成判别P（2，-2）、Q（-2，-2）是否为所寻找的点，代入原方程知，只有p点的坐标在不论m、n是什么实数时都满足方程，因此它位于曲线系中的每一条曲线上。 2、将复杂问题分解为几个简单问题 复杂的综合问题分解为几个简单问题 复杂的综合问题，往往是由一些较简单的问题巧妙地揉合而成的，因此，要善于通过观察，将它分解成几个小问题，各个击破后再综合起来。 例2 设=10-5+a2-+1，求证：对于一切实数，都有0。 分析 本题为多项求和，各项是同底幂，于是联想到指数涵数y=x的性质，以退为进用指数函数增减性来证题，但指数函数y=x的增减性与底数有关，因此，我们将问题分解成如下向种情况来讨论。 当0时, 的偶次幂为正,奇次幂为负,于是 f(a)=10+(-)5+2+(-)+11 即 f(a)-10 当=0或1时, f(a)=10 当01时, y=x 为减函数，52 ,于是 f(a)=+（-）+（1-）0； 当 1时,y=x为增函数，105，2，所以 f(a)=（10-5）+（2-）+10. 综合①,②,③,④,对一切实数 都有f(a)0. 二、特殊化，寻找突破口 对于某些数学问题，先找出符合题意的特殊值，特殊图形，特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题算途径。 1、分析特例，寻求启示 例3 如图，设两圆o1 o2内切于A，其半径分别为R、r（Rr），任作一直线垂直于连心所在的直线，并使其在连心线同侧分别交⊙o1、⊙o2于B、C。求证：△ABC外接圆的面积是定值。 分析 对于这个问题，我们先在特殊位置来考察“定值”，连心线o1o2过A点，设它与⊙o1、⊙o2分别交于E、F，过F作FB/垂直于o1o2 ,此时,B、C的特殊位置为B/、F，△AB/F是△ABC的特殊位置，其外接圆的直径是AB/，显然 AB/ 2=AE·AF=4R·r 是定值，从而面积也是定值，对于一般情形，连结EB、FC并延长交于P，因为∠ABP= ∠ACP为直角，所以A、C、B、P四点共圆，从而AP是△ABC外接圆直径，由特殊情形得到启示，只要证明AP2=AE·AF即可，而这不难通过相似三角形来加以证明。 2、利用特例，奠定基础 从所周知，数学归纳法是用特例奠基的，有的题目虽然不用数学归纳法，但解题时可先讨论一种简单特例，然后把一般情形化归为特例，以退为进。 例4 如图，设△ABC的外心为0，垂心为H，BC求证；OM=1/2AH 分析 观察图形的各种情形，发现当O在AB边上时，证明最为简单，可以联想到把一般情形化为这种特殊情形来证明，为此，连结BO，并延长交圆周于A/ ，对△A/BC而言，垂心H与C重合，显然有OM=A/C，再证AH=A/C即可，而这不难通过证明AHCA/是平行四边形而得到。 例4