小波分析在反应堆物理中的应用..docx

小波分析简介及其在反应堆物理中的应用小波分析是近二十年来迅速发展起来的全新数值分析方法，其基本思想是将函数用小波基函数来展开，计算其展开系数。由于小波基函数具有优良的紧支性，使得小波基函数可以聚集在研究的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”[9]。即小波基函数可以很好的逼近各种剧烈变化的函数，尤其是局部震荡的函数，具有非常高的逼近精度。另外，小波分析具有多尺度、多分辨的特性[3]，能够提供多种基函数作为有限元插值函数，由此构造的小波基单元可以根据实际需要任意改变分析尺度，使在变化梯度小的求解域用大的分析尺度，而变化梯度大的求解域则采用小的分析尺度。这是一种优于传统单元网格加密和插值阶次升高的自适应有限元算法，这种变尺度算法数值稳定性好、运算速度快、求解精度高。本文简要介绍了小波基函数的基本性质、求解小波基函数的展开系数的数值方法、以及小波基函数在反应堆物理中的应用，包括用小波基函数离散中子通量密度中的角度变量、共振能量区间的能量变量，并结合有限元方法的思想，将所有的变量都用基函数展开，然后带入变分方程，得出一个代数方程组，从而可以求出展开系数。理论基础小波函数小波函数基本概念小波函数是一个在区间积分为零的函数[9]，（容许条件） 称母小波；“小”指的是函数的局部性，积分为零说明含有波动性，而且正负两个方向的波动是均等的；小波函数经过平移、伸缩可以得到一族小波函数，即：其中a反应了特定函数的尺度（即伸缩情况），变量b指明了它沿着x轴的平移位置；当a和b取一系列离散值，如 时，即可以得到一族小波函数，即：在一定条件下可以构成的基，用它可以表示Daubechies 小波在数值计算中，通常使用Daubechies 小波[9]，Daubechies 小波具有紧支性和正交性；Daubechies 小波没有显式的数学表达式，其尺度函数和小波函数由以下两尺度方程给出：式中N为Daubechies 小波的阶数。由于Daubechies 小波没有显示的数学表达式，其尺度函数和相应的小波函数通常用数值方法以数表和曲线方式给出；N=6时， Daubechies 小波的尺度函数和小波函数如下： （a）尺度函数 （b）小波函数Daubechies 小波性质紧支性若小波函数在区间[a,b]外恒为0，则称在区间[a,b]上紧支， [a,b]为其支集；N阶Daubechies 小波（记为DN小波）的尺度函数和相应的小波函数的支集分别为Supp=[0,2N-1]，Supp=[1-N,N]。紧支性反应了尺度函数和小波函数在时域和空域的局部化能力，支集越小的小波，局部化能力越小。正交性Daubechies 小波是正交小波，其尺度函数和母小波满足如下正交条件：完备性Dohon已经证明， Daubechies 小波是平方可积函数的无条件基，即任意平方可积函数可以表示为：Daubechies 小波尺度函数可以精确的表征出不大于N-1的幂级数；Daubechies 小波的紧支性保证了以小波尺度函数作为插值函数构造小波单元时能以最少的单元自由度最大限度的逼近求解函数；小波的正交性保证了小波有限元所形成的的刚度矩阵是稀疏的，这将大大减少奇异性问题有限元分析的运算量。小波数值方法小波数值方法是将函数用小波基函数展开，然后用某些数值方法求解其展开系数，包括小波加权余量法、小波伽辽金方法、小波配置法、小波彼德洛夫伽辽金方法、小波有限元方法[3,8]，下面简要介绍小波加权余量法。数理问题通常是求解某个区域中某种或几种场函数的分布，记为u，通常可以由微分方程及其边界条件来描述：其中和分别为求解区域和边界。在区域内与微分方程组完全等价的积分形式为：若积分方程对任意都成立，则微分方程组一定满足。同理：若积分方程对任意都成立，则微分方程组一定满足。式加上得到：若对任意、都成立，则和成立。假设未知场函数可以采用近似函数来表示，近似函数是一族带有待定参数的已知函数：其中为待定参数，为试探函数。 通常n取有限项的情况下近似解不能精确满足微分方程和边界条件，它们将产生残差以及：用n个规定的函数来代替任意函数及，即得出近似的等效积分形式：通过选择待定系数，强迫余量在某种平均意义上等于0；和称为权函数，余量加权积分为0就得到一组求解方程，用以求解近似解的待定系数，从而得到原问题的近似解；任何独立的完全函数集都可以用来作权函数，按照对权函数的不同选择就得到了不同的加权余量计算方法；1.配点法：即强迫余量在域内n个点上为0；2.子域法：在?n个子域内，，在子域外;即强迫余量在n个子域内积分为0；3.最小二乘法：当近似解取时，权函数;此方法实质是使得函数取得最小值；4.力矩法强迫余量的各次矩为0，以一维为例，5.伽辽金法取,边界上；即简单的利用近似近似解的试探函数序列作为权函数；小波加权余量法中，