53代数系统的同态与同构..doc

授课时间 十一周 第 2 次课 授课章节 5.3 代数系统的同态与同构 任课教师 及职称 唐新华 讲师 教学方法 与手段 板书和电子课件结合 课时安排 2课时 使用教材和 主要参考书 1、教材： 耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008 2.参考书 左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006 教学与目的要求： 了解子代数和积代数的基本概念 教学重点、难点: 重点：子代数和积代数的基本概念和性质 难点：子代数和积代数的性质 教学内容: 5.3 代数系统的同态与同构 一、本节主要内容 同态映射的定义 同态映射的分类 单同态、满同态、同构 自同态 同态映射的性质 二、教学内容 同态映射的定义 定义 设 V1=S1,°和 V2=S2,*是代数系统，其中 ° 和 *是二元运算. f: S1?S2, 且x,y?S1, f (x°y) = f(x) *f( y), 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态. 更广泛的同态映射定义 定义 设 V1=S1,°, ? 和 V2=S2,*, ?是代数系统，其中 °和 *是二元运算. f: S1?S2, 且x,y?S1 f (x ° y) = f(x) * f(y) , f (x ? y) = f(x) ? f(y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态. 设 V1=S1, °,?, ?和 V2=S2,*, ?, ?是代数系统，其中° 和 * 是二元运算. ? 和 ?是一元运算， f: S1?S2, 且x,y?S1 f (x°y)=f(x)*f(y), f (x?y)=f(x)?f(y), f (? x)=?f(x) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态. 例 V1=Z,+，V2=Zn,? ，Zn={0,1, … , n-1}, ?是模 n 加. 令 f：Z→Zn，f(x) = (x)mod n 则 f 是V1到 V2 的同态. x, y∈Z有  f(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n ? (y)mod n = f(x) ? f(y) 例 V1=R,+，V2=R＋, ? f?： R ? R＋, f(x)=ex 例题 例1 V=R*,×, 判断下面的哪些函数是V 的自同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= -x (6) f(x)=x+1 解 (2) , (5), (6) 不是自同态. (1) 是同态， f(x×y) = |x×y| = |x| ×|y| = f(x) ×f(y) (3) 是同态， f(x×y) = (x×y)2 = x2 ×y2 = f(x) ×f(y) (4) 是同态， f(x×y) = 1/(x×y) =1/x ×1/y = f(x) ×f(y) 特殊同态映射的分类 f 为V1=S1,°到 V2=S2,*的同态，则 1. f (S1),*是V1在f下的同态像， 2.同态映射f如果是单射，则称为单同态； 3.如果f是满射，则称为 满同态， 记作 V1~V2； 4. 如果f是双射，则称为 同构，也称代数系统 V1 同构于V2，记作 V1@V2 . 5. 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态. 类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构. 同态映射的实例 例2 设V=Z,+，a?Z，令 fa：Z?Z，fa(x)=ax 那么 fa是V的自同态. 因为x,y?Z，有 fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y) 当 a = 0 时称 f0为零同态； 当a=±1时，称 fa为自同构； 除此之外其他的 fa 都是单自同态. 例3 设V1=Q,+, V2= Q*,?，其中Q*= Q?{0}，令 f?：Q?Q*, f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射，因为?x, y?Q有 f(x+y) = ex+y = ex?ey = f(x) ? f(y). 不难看出 f 是单同态. 例4 V1=Z,+，V2=Z