5152两点边值问题..doc

第一章，边值问题的变分形式 1.1 二次函数的极值 定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价： （1）求使 其中 （2）求下列方程组的解： 1.2 两点边值问题 1. 弦的平衡 用表示在荷载force作用下弦的平衡位置。Balance position of string根据力的平衡条件，满足微分方程 （2） 其边值条件为 （4） 其中为弦的张力。tension 另一方面，由力学的“极小位能原理”，弦的平衡位置是在满足（4）的一切可能位置中，使位置能量取得最小者。应变能为strain 外力所做的功为work 从而总位能为 根据极小位能原理，是下列变分问题的解： 2. 极小位能原理principle of minimum potential energy 变分Variation 问题精确地叙述为：求使 引进微分算子 则 于是 例如，对于两点边值问题： （10.1） （10.2） 其中，，，，。类似地，构造泛函 利用分部积分integration by parts，并由（10.2），得到 令 （12） 得到 问题（10）的变分问题：求使 。 可以验证（12）定义的具有两个性质：bilinear form （1）对称性： symmetry （2）正定性： positive definite 对任意 令 从而 （14） 变分原理：设，是边值问题（10）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（10）的解。 证明：注意当时， （16） 如果是边值问题（10）的解，则，从而 ， 对任意 由（14），有 这说明使达到极小值。 反之，若使达到极小值，则由（14）及（16），得 对任意 （18） 取，则 ， 对任意 根据变分法基本原理，满足方程 ， 所以，（18）化为 对任意 注意，取，则，且，从而必须满足右边边值条件 3. 虚功原理principle of virtual work 以乘以方程（10.1）的两端，再积分，得到 （20） 利用分部积分，得到 代到（20），得到 即 （22） 这是方程（10）的变分形式。 对，，由（16），得到 假如是边值问题（10）的解，则对任意，满足（22）；反之，若对任意，满足（22），则可按前边变分原理的证明，推出是边值问题（10）的解。 定理 设是边值问题（10）的解的充要条件是：且满足变分方程 。 5.3 二阶椭圆边值问题 1. 变分原理 考虑Poisson方程的第一边值问题： （1） 作泛函functional 利用Green公式，我们得到 若满足边值条件，则 定义双线性形式 则 变分问题：求，使 双线性形式具有如下性质： （1） 对称性： symmetry （2） 正定性：对有 对，令 易算出 进一步，假设，则 若是问题（1）的解，则 ， 对任意 从而 ， 对任意 即使达到极小。总结成下面的极小位能原理。 定理1 设是边值问题（1）的解，则使达到极小值；反之，若使达到极小值，则是边值问题（1）的解。 2. 虚功原理principle of virtual work 考虑混合边值问题。在上满足 在上满足 以乘（1.1）两端multiply by，得到