3振动与波习题思考题..doc

习题3 3-1．原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8） 解：振动方程：在本题中，，所以； 。 取竖直向下为正向弹簧长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。 所以： 即。 3-2．有一单摆，摆长，小球质量时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8） 解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：， 频率： ， 周期：（2），∴ 根据初始条件时： 可解得：所以得到振动方程： 3-3．一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：（1）由题已知 A=12m，T=2 s∴ 又t=0时，，由旋转矢量图，可知： 故振动方程为； （2）将t=0.5 s代入得， ， ， 方向指向坐标原点，即沿x轴负向（3）由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动质点位置回到平衡位置需要走，： 。 3-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点1在 处，且向左运动时， 相位为， 而质点2在 处，且向右运动， 相位为。 所以它们的相位差为。 -5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？，，有：， ， （1）当时，由， 有：，， ∴，； （2）当：，。3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 初相：，初相：， 表明两者处于反相状态，（反相，） ，∴合成振动振幅 ； 合成振动相位： 合成振动方程： 3-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：图由图知 =0.01 m∴A２=0.1 m，有： ，∴。 说明A１与A２间夹角为π/2，即振动的位相差为π/2-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： （1） （2） （3） 试判别质点运动的轨迹。 解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 ，的叠加 （1），代入有：， 则方程化为：，轨迹为一般的椭圆（2），代入有： 则方程化为：，轨迹为一直线（3），代入有： 则方程化为：轨迹为圆。 -9．沿一平面简谐波的波线上，有相距的两质点与，点振动相位比点落后，已知振动周期为，求波长和波速。 解：根据题意，对于A、B两点，， 而相位和波长之间满足关系：， 代入数据，可得：波长=24m。又∵T=2s，所以波速。 -10．已知一平面波沿轴正向传播，距坐标原点为处点的振动式为，波速为，求： （1）平面波的波动式； （2）若波沿轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）设平面波的波动式为，则点的振动式为： ，与题设点的振动式比较， 有：，∴平面波的波动式为：； （2）若波沿轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则点的振动式为： ，与题设点的振动式比较， 有：，∴平面波的波动式为：。 -11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知点的振动规律为，试写出： （1）该平面简谐波的表达式； （2）点的振动表达式（点位于点右方处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以点为原点平面简谐波的表达式为： ，则点的振动式： 题设点的振动式比较，有：， ∴该平面简谐波的表达式为： （2）B点的振动表达式可直接将坐标，代入波动方程： -12．已知一沿正方向传播的平面余弦波，时的波形如图所示，且周期为。 （1）写出点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出点的振动表达式； （4）写出点离点的距离。 解：由图可知：，，而，则：， ，，∴波动方程为： 点的振动方程可写成： 由图形可知：时：，有： 考虑到此时，∴，（舍去） 那么：（1）点的振动表达式：； （2）波动方程为：；（3）点的振动表达式：由图形可知：时：，有： 考虑到此时，（或） ∴A点的振动表达式，或； （4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，（3）A点的振动表达式，所以： 3-