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分部积分的应用技巧 白书伟 (包头师范学院数学科学学院 内蒙古 包头 014030) 摘要：分部积分的公式推导法，分部积分公式的应用，一般来说用分部积分法求积分必须注意技巧，有些题不能用换元法求解，或者用换元积分法很难求出时，用分部积分法，以下几种类型的题目体现分部积分的应用技巧。 关键词：分部积分 分部积分公式 被积函数 积分子 微分号 一般来说求积分要比求导困难的多，根据不定积分的运算法则和积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的积分，而对更广泛函数 的积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，求积分有很大的灵活性分步积分就是求积分的最常用的方法之一，分部积分法求积分，使积分化繁为简（也就是将被积函数化简，直到能应用积分公式求出它的积分）。 分部积分公式： 或 是由函数分部积分公式是怎样推导出来数乘积的导数公式推导出的。 或 由不定积分的法则和不定积分定义，有： 即 或 分部积分就是应用分部积分公式来解题，分部积分的应用技巧多种多样的，它的关键是选择适当的和，分部积分法可以运用于多种类型函数，如： （I）：如果问题中被积函数中的两项积分子都易于分开来积分选择经过足够次微分会消失为0的那一项作为 （如对被积函数指数函数（或三角函数）与幂函数的乘积的不定积分用分部积分法把幂函数作为，把指数函数（或三角函数）局部积分） 例1：求 解：经过两次求导变为0，选择 由分部积分公式，得： 例2：试求 解：经过四次求导变为0，令 则 由分部积分公式得： 重复使用分部积分公式有： （II）：如果被积函数的两项积分子中某一项很难积分，则令此项为（如被积函数为对数函数与幂函数乘积时，令对数函数为，把幂函数局部积分）。 请看下面几个例子： 例3：试求 解：令 有分部积分公式，得： 则定积分， 例4求 解：令 则 由分部积分公式得： 例5： 求 解：. 由分部积分公式，得： 以上两例中，例4中的很难积分，例5中的同样很难积分，所以我们选分别把局部积分） （III）：分部积分法应用于被积函数为商式的积分 例6： 求 原式 例7： 求 解：原式 令 由分部积分公式，得： （IV）：其他几种常见类型的函数的积分 例8： 计算， 解： 积分的难点在于被积函数中的因子，若把缩进微分号中利用分部积分公式转换后的新积分将对求一次微分， 从而消除因子，因此利用分部积分公式得： 很明显，上例的反复法对计算形如的积分也适用，只需反复使用分部积分公式即可。 例9．设 试建立递推公式. 例10：设函数 连续。证明 证 应用分部积分法 以上几种类型的积分就是常见的一些用分部积分求积分的题型，从题中可以看出应用分部积分法求积分的关键是选取和，如一时没有把握，可逐一进行实验，要求比简单。我们只有熟练掌握分部积分的应用技巧才能准确快速的求积分。 参考文献： [1]《高等数学典型题》 武忠祥 西安交通大学出版社 [2]《应用微积分》 霍斯泰特勒 世界图书出版公司 [3]《数学分析讲义》 刘玉琏，傅沛仁. 高等教育出版社 [4]《微积分及其应用》 徐氏基金出版社 1