实验七多元函数微积分学..docVIP

实验 多元函数微积分学 【实验类型】验证性 【实验学时】学时 【实验目的】 MATLAB求多元函数的偏导及高阶偏导数； 2. 通过使用MATLAB的一些基本功能（主要是计算功能），理解和掌握重积分曲线、曲面积分的相关基本概念及其相应的计算方法； . 会用MATLAB计算立体的体积、曲面的面积等应用问题。 【实验内容】 1. MATLAB掌握 2. 使用MATLAB掌握二重积分的直角坐标、极坐标的计算方法； . 使用MATLAB掌握三重积分的直角坐标、柱面坐标、球面坐标的计算方法； . 使用MATLAB掌握曲面柱体体积的计算方法； . 使用MATLAB掌握空间曲面面积的计算方法； . 使用MATLAB掌握第一、二类曲线积分的计算方法； . 使用MATLAB掌握平面区域的计算方法； . 使用MATLAB掌握第一、二类曲面积分的计算方法；【实验方法与步骤】（对于必须编写计算机程序的实验，要附上学生自己编写的程序） 一、实验的基本理论与方法 二重积分的直角坐标计算方法： 若，则 （2）若，则 二重积分的极坐标计算方法：若，则 曲面柱体的体积：一曲面为顶，为底的曲顶柱体的体积： 曲面的面积：设曲面由给出，为曲面在面上的投影区域，则曲面的面积 球面坐标、柱面坐标和直角坐标系的关系： 直角坐标与柱面坐标的关系： 直角坐标与球面坐标的关系：、第一类曲线积分的概念及其计算方法：若函数在光滑曲线弧上连续，的参数方程为，且在上具有连续导数，，则 。 、若平面区域D的面积为A，边界曲线为L，则有 、定理（Green公式）设函数及其一阶偏导数在区域D上连续，则公式 成立，其中L是区域D的边界，它是分段光滑的，方向取正向。 平面曲线积分与路径无关的条件（略） 两类曲面积分的概念及其计算方法（略）二、实验使用的Matlab函数 . 计算偏导数： diff(f,x,n), 求，其中，其中. 计算累次积分： int(int(f,x,a,b),y,c,d), 其中, ； int(intint(f,x,a,b),y,c,d),z,e,f）其中, ,三、实验指导 例1 求的二阶偏导数。 输入命令： syms x y; z=x*log(x+y); z_xx=diff(z,x,2) z_yy=diff(z,y,2) z_xy=diff(diff(z,x),y) z_yx=diff(diff(z,y),x) 运行结果： z_xx =2/(x + y) - x/(x + y)^2 z_yy =-x/(x + y)^2 z_xy =1/(x + y) - x/(x + y)^2 z_yx =1/(x + y) - x/(x + y)^2 例2 设，求。 利用隐函数求导法则，输入命令： syms x y; f=atan(y/x)-log(sqrt(x^2+y^2)); df_dx=diff(f,x); df_dy=diff(f,y); dy_dx=-df_dx/df_dy; simplify(dy_dx) %化简表达式 运行结果为： dy_dx =(2*y)/(x - y) + 1 （计算结果：） 例求。 输入命令： syms x y; f=x*y; int(int(f,y,2-x,sqrt(2*x-x^2)),x,1,2) 运行结果为： ans = 1/4 例 求，其中由直线、及曲线所围成的闭区域。 首先求出闭区域的边界曲线的交点： [x,y]=solve(x-2=0,y-x=0) 运行结果： x =2 y =2 输入命令： [x,y]=solve(x-2=0,y*x-1=0) 运行结果： x =2 y =1/2 输入命令： [x,y]=solve(y-x=0, y*x-1=0) 运行结果： x = 1 -1 y = 1 -1 最后计算积分： syms x yint(int(x^2/y^2,y,1./x,x),x,1,2) 运行结果为： ans = 9/4 例利用极坐标计算二次积分。 确定积分区域。 利用极坐标计算积分 syms r t; int(int(r^3,r,1/(cos(t)+sin(t)),1),t,0,pi/2) 运行结果为： ans =pi/8 - 1/6 例 求由曲面及所围成的立体的体积。 立体关于XOY平面坐标面的投影柱面为：，投影区域为： 计算立体的体积： syms x y z1 z2 r t; x=r*cos(t); y=r*sin(t); z1=x^2+2*y^2; z2=6-2*x^2-y^2; int(int((z2-z1)*r