[2015年高中数学步步高大一轮复习讲义文科第4讲垂直关系.docVIP

第讲 一、选择题 已知平面α与平面β相交直线m⊥α则 A．β内必存在直线与m平行且存在直线与m垂直 内不一定存在直线与m平行不一定存在直线与m垂直 内不一定存在直线与m平行但必存在直线与m垂直 内必存在直线与m平行不一定存在直线与m垂直 解析　如图在平面β内的直线若与α的交线a平行则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线只有当α⊥β时才存 答案　 2．已知直线l垂直于直线AB和AC直线m垂直于直线BC和AC则直线l的位置关系是(　　)． 平行 ．异面 ．相交 ．垂直 解析　因为直线l垂直于直线AB和AC所以l垂直于平面ABC同理直线m垂直于平面ABC根据线面垂直的性质定理得l∥m. 答案　 3．已知P为△ABC所在平面外的一点则点P在此三角ABC垂心的充分必要条件是(　　)． ＝PB＝PC PB⊥AC C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等 平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等 解析　条件为外心的充分必要条件条件、D为内心的必要条件故选 答案　 4．设α为不重合的平面为不重合的直线则下列命题正确的是(　　)． 若α⊥β＝n则m⊥α 若mβ，m⊥n，则n⊥α 若n⊥α⊥β，m⊥β，则m⊥α 若m∥α则α⊥β 解析　与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m可与α平行或相交故错；对存在n∥α情况故错；对存在α∥β情况故错．由n⊥α可知α∥β又m⊥β所以m⊥α故正确选 答案　如图()，在正方形ABCDE、F分别是BC、CD的中点是EF的中点现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体使B、C、D三点重合重合后的点记为H如图()所示那么在四面体A－EFH中必有(　　)． 所在平面 ．所在平面 所在平面 ．所在平面 解析　折成的四面体有AH⊥EH ∴AH⊥面HEF. 答案　 6. 如图在斜三棱柱ABC－A中＝90则C在底面ABC上的射影H必在(　　)． 直线AB上 　　．直线BC上 直线AC上 　　．内部 解析　由BC又BA⊥AC则AC⊥平面ABCABC⊥平面ABC因此C在底面ABC上的射影H在直线AB上． 答案　二、填空题 如图拿一张矩形的纸对折后略微展开竖立在桌面上折痕与桌面的位置关系是________． 解析　折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直因此折痕与桌面垂直． 答案　垂直 ．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题： 点H是A1BD的中心； AH垂直于平面CB1D1； AC1与B1C所成的角是90°. 其中正确命题的序号是________． 解析由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是 三角形A1BD的中心，故正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH平面CB1D1，故正确；从而可得AC1平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°. 答案 9. 如图在四棱锥P－ABCD中底面ABCD且底面各边都相等是PC上的一动点当点M满足________时平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 解析　∵PC在底面ABCD上的射影为AC且AC⊥BD当DM⊥PC(或BM⊥PC)时即有PC⊥平面MBD而PC平面PCD平面MBD⊥平面PCD. 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)10. 如图圆O所在的平面是圆O的直径是圆O上的一点、F分别是点A在PB、PC上的正投影给出下列结论： ；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________． 解析　由题意知PA⊥平面ABC 又AC⊥BC＝A平面PAC. AF⊥PC，BC∩PC＝C ∴AF⊥平面PBC 又AE⊥PB＝A平面AEF. 故①②③正确． 答案　①②③三、解答题 如图已知PA⊥矩形ABCD所在平面分别是AB的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45求证：MN⊥平面PCD. 证明　(1)如图连接AC平面ABCD ∴PA⊥AC，在中为PC中点 ∴AN＝ ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BC，又BC⊥AB PA∩AB＝A ∴BC⊥平面PAB 从而在中为斜边PC上的中线 ∴BN＝＝BN为等腰三角形 又M为底边的中点 又∵AB∥CD (2)连接PM、MC＝45＝AD. 四边形ABCD为矩形 ∴AD＝BC＝BC. 又∵M为AB的中点＝BM. 而∠PAM＝∠CBM＝90＝CM. 又N为PC的中点 由(1)知＝C ∴MN⊥平面PCD. ．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB＝60°，FC平面ABCD，AEBD，CB＝CD＝CF. (1)求证：BD平面AED； (2)求二面角F－BD－C的余弦