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第六章 线性空间 内容概述 基本概念 ⒈线性空间的定义-----两个集合要明确。两种运算要封闭，八条公理要齐备。 ,数域 使。 使。 满足下述八条公理： ⑴； ⑵； ⑶对于都有，零元素； ⑷对于，都有，称为的负元素，记为； ⑸；⑹；⑺； ⑻。 常用的线性空间介绍如下： （ⅰ）、分别表示二维，三维几何空间。（ⅱ）或表示数域上的维列向量构成的线性空间。（ⅲ）表示数域上全体多项式组成的线性空间。 表示数域上次数不大于的多项式集合添上零多项式构成的线性空间。（ⅳ）表示数域上矩阵的集合构成的线性空间。当时，记为。（ⅴ）表示在实闭区间上连续函数的集合组成的线性空间。 ⒉基，维数和坐标------刻画线性空间的三个要素。 ⑴基 线性空间的一个基指的是中一组向量满足（ⅰ）线性无关；（ⅱ）中每一向量都可由线性表出。 ⑵维数 一个基所含向量的个数，称为维数。记为。 ⑶坐标 设为的一个基。有则称有序数组为关于基的坐标。记为()。 ⑷过渡矩阵 设的二个基（ⅰ）（ⅱ）且 则称阶矩阵。 为由基到基的过渡矩阵。 ⒊子空间 子空间的定义及其判定。交子空间和子空间，生成子空间，余子空间。 ⒋ 线性空间的同构。 设和是数域上两个线性空间。如果 ⑴是到的一个双射。 ⑵ ⑶ 则称为到的一个同构映射。此时称与同构。记为。 基本理论 ⒈为的一个基中每一个向量都可唯一地表示成这个向量的线性组合。 ⒉任意多于个向量的向量必线性相关（中）。因此有以下四个结论： （ⅰ）中任意个线性无关的向量均可构成一个基。 （ⅱ）中任何两个基所含向量个数相同。 （ⅲ）有限维线性空间的任意子空间必为有限维的。 （ⅳ）若中两个子空间且有 则。 ⒊ 中两个向量组与等价，则 ⒋基扩充定理 设为一组线性相关的向量，则中必有个向量使得做成的一个基。 ⒌维数公式 设是的两个子空间，那么 ⒍坐标变换公式 ⒎过渡矩阵是可逆的。 ⒏子空间的判定。设是的一个非空子集，则为的一个子空间 都有。 ⒐直和的充要条件：（ⅰ）零向量的表示法唯一。（ⅱ）（ⅲ）。 ⒑线性空间同构的性质。 （ⅰ） （ⅱ）线性空间中向量组线性相关它们的象线性相关。（ⅲ）同构具有反身性，对称性，传递性。（ⅳ）数域上两个有限维线性空间同构的是它们有相同的维数。 基本方法 ⒈线性空间及子空间的证明方法；⒉基、维数及向量坐标的求法； ⒊线性空间直和分解的方法；⒋线性空间同构的证明方法。 例题选讲 例⒈判断下列集合对指定的运算是否构成给定数域上的线性空间。 ⑴数域上全体阶对称矩阵与反对称矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数乘运算。 ⑵全体正实数构成的集合, 加法和数乘定义为 解 ⑴构不成线性空间。因为设是对称矩阵，是反对称矩阵，且都不是零矩阵。则但（否则之一为零矩阵）即既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵。故，因而构不成线性空间。 ⑵对于加法封闭：对任意的，有； 对于数乘封闭：对任意的，有； (ⅰ)； (ⅱ) （ⅲ）中存在零元素1,对任何，有； （ⅳ）对任何，有负元素，使 (ⅴ)；（ⅵ）； （ⅶ）； （ⅷ）因此对于所定义的加法和数乘构成线性空间。 例⒉设 （ⅰ）证明对于矩阵的加法和数乘来说构成实数域上的线性空间。 （ⅱ）求的一组基及维数。 （ⅲ）求在该基下的坐标。其中。 解（ⅰ）有两种证法。①逐条验证。②用子空间的判定条件来证。 （ⅱ）,,线性无关，又任意矩阵 为的的一个基，维数为3。 (ⅲ)矩阵在基下的坐标为。 例⒊ ⑴证明以下两组向量是线性空间的两个基： （北京师范大学、湖北大学） ⑵求向量在这两个基下坐标的关系。 证明 ⑴以向量及为到三阶行列式 与分别线性无关。 故与都是线性空间的基。 ⑵设在两个基下坐标分别为与 其中为3维单位向量。 在两个基下坐标有如下关系： 例⒋ ⑴证明下列多项式是（即次数次的多项式及零多项式构成的线性空间）的基： 其中是数域中个互不相同的数。 ⑵在⑴中，取为全体次单位根，求由基到基的过渡矩阵。 ⑴证：事实是上，若⑴则令代入⑴式由得。将分别代入⑴式由于必得故线性无关。故是一个基。 ⑵由于 由基到基的过渡矩阵为 例⒌在中，求由基到基的过渡矩阵 解：的基，所以 将⑵代入⑶得 为所求过渡矩阵。 例⒍ 证明：数集关于数的加法与数的乘法构成有理数域上的线性空间，并求的一组基与维数。 证： 根据线性空间的定义，根据数的加法具有交换律、结合律。是中的零元。的负元素为。数的乘法对加法具有分配律，容易验证 故构成上的线性空间。 为求的基与维数，设 则 由于是有理数，是无理数 故 注意到